因子分析中基于信息准则的秩估计量选择一致性统一理论

这篇综述通过随机矩阵理论(RMT)框架，系统阐述了因子分析(FA)和主成分分析(PCA)中基于AIC/BIC/GIC等信息准则的秩估计量选择一致性理论，创新性提出"间隙条件"(gap conditions)作为秩选择一致性的充要条件，并通过数值模拟验证了该统一理论在不同维度(p?n)场景下的普适性。

　　

Highlight

本研究聚焦因子分析(FA)和主成分分析(PCA)中的核心问题——如何准确估计协方差矩阵Σ的秩(rank)。通过随机矩阵理论(RMT)框架，我们揭示了基于信息准则(AIC/BIC/GIC等)的秩估计量具有选择一致性的数学本质。

Main Result: 统一选择一致性定理

定理1（信息准则基估计量的选择一致性）

定义ψ_r0:=ψ(λ_r0)、μ_H:=∫t dH(t)和b_c,H:=ess sup(F_c,H)。在RMT基本假设(C1)-(C3)下，当且仅当满足以下间隙条件时，各类信息准则基估计量具有选择一致性：

1）上间隙条件：ψ(λ_r0) > b_c,H

2）下间隙条件：ψ(λ_r0+1) < b_c,H

该定理首次将PC_1-3、IC_1-3等面板信息准则纳入统一理论框架，揭示了不同准则背后共有的数学规律。

Study I: 间隙条件作为选择一致性充要条件的验证

通过设计p/n→c∈(0,∞)的不同高维场景，我们验证了：

• 当同时满足上下间隙条件时，所有信息准则基估计量均能准确识别真实秩r₀

• 任一间隙条件被违反时，估计量会出现过拟合或欠拟合

特别有趣的是，在p?n的极端场景下，BIC表现出优于AIC的稳健性，这与经典低维统计结论形成鲜明对比。

Concluding Discussions

本研究建立的统一理论不仅完善了高维因子分析的统计基础，更启示我们：尽管不同信息准则的惩罚项形式各异，但其选择一致性本质上都受限于协方差矩阵特征值的"间隙规律"。这一发现为开发新型自适应秩估计量提供了理论基石。