社交媒体成瘾的数学建模与最优控制：稳定性与敏感性分析

本文针对社交媒体成瘾问题，构建了包含易感者(S)、暴露者(E)、成瘾者(A)和康复者(R)的SEAR动力学模型，通过稳定性分析和Pontryagin极大值原理揭示了R0的关键作用。研究发现当R0<1时无瘾平衡点全局稳定，R0>1时地方病平衡点存在且稳定，并通过最优控制提出了"意识宣传+惩罚"的干预策略。该研究为制定社交媒体成瘾防控政策提供了量化依据。

　　

在数字时代浪潮中，社交媒体如同双刃剑——它既拓展了人类社交的边界，也悄然编织着成瘾的罗网。全球约34%的青少年存在社交媒体过度使用问题，这种新型行为成瘾已被证实会导致注意力缺失、睡眠障碍甚至抑郁倾向。与传统的物质成瘾不同，社交媒体成瘾的传播机制更接近流行病学特征：通过社交网络中的"数字传染"，用户行为会像病毒一样在人际网络中扩散。

为破解这一难题，Mostofa Kamal团队在《Franklin Open》发表了开创性研究。他们首次将传染病动力学模型引入行为成瘾领域，构建了包含四类人群的SEAR（Susceptible-Exposed-Addicted-Recovered）模型。该研究通过非线性动力学分析揭示了社交媒体成瘾的传播阈值规律，并创新性地引入最优控制理论，为制定精准干预策略提供了数学依据。

研究采用的核心技术包括：1) 基于下一代矩阵法计算基本再生数R₀；2) 运用Lyapunov函数和Castillo-Chavez定理进行全局稳定性分析；3) 采用Pontryagin极大值原理设计最优控制策略；4) 通过有限差分法进行数值模拟。研究数据来源于孟加拉国达卡地区的社交媒体使用流行病学调查。

【模型构建与分析】

研究团队建立了包含非线性接触率的微分方程组，将人群划分为四类：易感者(S)、暴露者(E)、成瘾者(A)和康复者(R)。通过构造Lyapunov函数，严格证明了当R₀<1时系统收敛于无瘾平衡点E₀=(Λ/(α+μ),0,0,αΛ/μ(α+μ))。

【基本再生数】

采用下一代矩阵法推导出关键阈值R₀=βΛγ/[(α+μ)(γ+μ+κ)(δ+μ)]。这个简洁的公式量化了单个成瘾者在易感人群中引发的次级感染数量，成为判断成瘾是否流行的"风向标"。

【分岔分析】

通过中心流形理论证明系统在R₀=1处发生前向分岔，这意味着当干预措施使R₀降至临界值以下时，成瘾现象可以完全消除，这与传统的后向分瘾传染病模型形成鲜明对比。

【最优控制】

研究创新性地引入两个时变控制变量：u₁(t)（意识宣传）和u₂(t)（惩罚措施）。通过Hamiltonian函数推导出最优控制律，数值模拟显示联合策略可使成瘾人群减少63%，显著优于单一干预。

这项研究的价值不仅在于理论创新，更在于其现实指导意义。提出的R₀计算公式为评估社交媒体成瘾风险提供了量化工具，而最优控制方案则为政府制定阶梯式干预策略提供了科学依据。特别是研究发现，在流行初期加强意识宣传，在流行高峰期配合惩罚措施，能实现防控效益最大化。该模型框架还可拓展应用于游戏成瘾、网络赌博等其他行为成瘾研究，为数字时代的公共卫生治理开辟了新路径。