b-度量空间中Hardy-Rogers对收缩与Kannan-Meir-Keeler型循环插值收缩的固定点定理研究

本文针对非线性分析中的固定点理论拓展问题，研究了b-度量空间(b-metric space)中两类新型收缩映射：插值型Hardy-Rogers对收缩(interpolative Hardy-Rogers pair contraction)和循环Kannan-Meir-Keeler型插值收缩(cyclic Kannan-Meir-Keeler type contraction)。通过建立新的固定点存在性定理，作者证明了在非对称度量结构下，这两类映射能保证共同固定点的存在，并通过构造性示例验证了理论结果。该研究统一并推广了经典Banach收缩原理在广义度量空间的适用性，为微分方程解的存在性等问题提供了新的分析工具。

　　

在数学分析的广阔天地中，固定点理论犹如一颗璀璨的明珠，自Banach提出经典收缩原理以来，其应用已渗透到微分方程、优化理论等诸多领域。然而，随着研究的深入，传统度量空间的局限性逐渐显现——当现实问题涉及非对称距离或放宽的三角不等式时，经典理论往往束手无策。这正是b-度量空间(b-metric space)登上舞台的契机，它通过引入系数??≥1来松弛三角不等式，为描述更复杂的空间结构提供了可能。

在这样的背景下，印度Tezpur大学的Suman Upadhyay和Pradip Debnath敏锐地捕捉到两个关键问题：如何将著名的Hardy-Rogers多参数收缩条件与新兴的插值技术结合？能否在循环映射框架下建立Kannan-Meir-Keeler型收缩的新形式？他们的研究论文《Fixed point results of Hardy-Rogers and Kannan-Meir-Keeler interpolative contractions in b-metric spaces》在《Heliyon》上的发表，为这些前沿问题交出了精彩答卷。

研究团队主要采用公理化方法和构造性证明技术，通过定义新型收缩映射条件，结合序列收敛分析和Cauchy序列性质验证，系统建立了b-度量空间中的固定点存在定理。特别值得注意的是，作者设计了多个具有非对称距离特性的具体空间案例，通过精确计算验证理论结果的适用性。

插值型Hardy-Rogers对收缩

通过引入参数k∈[0,1)和权重系数r,s,t∈(0,1)，研究者定义了满足特殊不等式的映射对(??,??)。在定理2.2中，通过构造迭代序列??_m并巧妙运用b-度量性质，证明当r+s+t<1时，这类映射在完备b-度量空间中必然存在共同固定点??*。示例2.3和2.4分别采用离散和连续空间结构，验证了即使固定点不唯一（如示例2.4中存在两个固定点），定理结论依然成立。

循环Kannan-Meir-Keeler型插值收缩

在定义3.2中，作者创新性地将Meir-Keeler条件与插值技术结合，要求映射??在非空闭集??∪?上满足ε-δ型收缩条件。定理3.3通过交替选取序列元素，严格证明了这类循环映射的固定点必然存在于??∩?中。示例3.4通过设计分段定义的映射，在特定b-度量下展示了多个固定点的存在现象，揭示了该理论框架的包容性。

研究结论部分明确指出，这两类新型收缩条件显著拓展了固定点理论的适用范围：在理论上，首次实现了Hardy-Rogers多参数条件与b-度量空间的有机结合；在方法学上，提出的插值技术为处理复杂收缩条件提供了新工具。特别值得关注的是推论3.5，它将循环映射结果推广到分离映射对(??₁,??₂)的情形，为后续研究指明了方向。

讨论中作者坦诚指出，当前研究尚未解决固定点唯一性条件这一深层次问题，这将成为未来工作的重要突破口。正如他们在"未来方向"章节所展望的，将该理论延伸至模糊度量空间或模块化空间，可能催生更具普适性的非线性分析工具。这项研究不仅丰富了度量空间理论的数学内涵，更为解决实际工程中的非线性问题提供了新的理论基础。