b-度量空间中Hardy-Rogers型插值收缩对与Kannan-Meir-Keeler型循环收缩的不动点定理及其应用

本文针对非线性分析中的不动点理论拓展问题，研究了b-度量空间(b-metric space)中Hardy-Rogers型插值收缩对与Kannan-Meir-Keeler型循环收缩的复合映射。研究者Suman Upadhyay和Pradip Debnath通过构建新型收缩条件，证明了在非对称度量框架下共同不动点的存在性，并通过典型算例验证了理论结果。该研究统一并推广了经典Banach压缩原理，为复杂空间中的非线性算子分析提供了新工具。

　　

在数学分析领域，不动点理论始终是研究非线性问题的核心工具。从Banach经典的压缩映射原理出发，学者们不断探索更广义空间和更复杂收缩条件下的不动点存在性。b-度量空间(b-metric space)作为传统度量空间的推广，通过引入松弛的三角不等式（即d(x,z) ≤ s[d(x,y)+d(y,z)]，其中s≥1为常数），能够描述更复杂的几何结构。然而，这种非对称性也为不动点定理的证明带来了新的挑战。

传统Hardy-Rogers收缩和Kannan-Meir-Keeler收缩在度量空间中已有丰富成果，但将其拓展到b-度量空间时，常规方法往往失效。特别是在处理插值型收缩条件和循环映射时，现有理论难以直接应用。这正是Suman Upadhyay和Pradip Debnath在《Heliyon》发表的研究要解决的关键问题——如何在保持收缩条件解析性质的同时，克服b-度量非对称性带来的技术障碍。

研究团队通过构建迭代序列，创造性设计了包含四项乘积的插值型收缩条件：

b(Ke,Lf) ≤ k[b(e,f)]^s[b(Ke,e)]^t[b(Lf,f)]^r[1/2s(b(Ke,f)+b(Lf,e))]^(1-r-s-t)

其中k∈[0,1)且r+s+t<1。这种结构巧妙平衡了映射对自身和互动的约束，通过精细的不等式放缩技术，最终在完备b-度量空间中证明了共同不动点的存在性。

关键技术方法包括：1) 构建具有交替映射的迭代序列{w_m}；2) 利用b-度量不等式处理非对称性；3) 通过参数约束条件确保序列收敛性；4) 对特殊案例进行数值验证。研究特别考察了E={1,2,3,4}的离散空间和[0,1]区间上的具体函数示例。

主要研究结果

1. 插值Hardy-Rogers型收缩对

通过定义2.1引入的新型收缩条件，定理2.2证明：在完备b-度量空间中，满足插值条件的映射对(K,L)存在共同不动点w，使得Kw=Lw=w。典型示例显示，当K(a)=1/2（a=1）和L(b)=0（b≠1）时，0和1均为不动点，表明解的非唯一性。

2. 循环Kannan-Meir-Keeler收缩

定义3.2提出的循环映射在非空闭集G∪H上满足：当ε<[b(Ke,e)]^r[b(Kf,f)]^1-r<>

结论与意义

该研究突破了传统度量空间的限制，首次在b-度量框架下建立了Hardy-Rogers-Kannan-Meir-Keeler复合收缩理论。其创新性体现在：① 将插值思想引入非对称空间的不动点分析；② 通过乘积型条件统一处理自映射和交互映射；③ 为偏微分方程和优化理论中的非线性问题提供了新的分析工具。示例证明即使简单如E={1,2,3,4}的离散空间，该理论也能有效识别多重不动点，展现了广泛的适用性。未来可进一步探索在分数阶微积分和智能算法中的应用潜力。