时间分数阶扩散与高阶方程改进无网格有限积分法：基于QIP-M-SCI的高精度数值解

本文提出了一种改进的有限积分法(IFIM)，结合二次插值多项式(QIP)和修正移位切比雪夫积分(M-SCI)方案，用于求解时间分数阶扩散方程(TFDEs)和空间四阶时间分数阶偏微分方程(TFPDEs)。该方法在时间离散化中采用Hadamard有限部分积分，空间离散化通过解析构建高阶积分矩阵显著提升计算性能。理论误差分析和数值实验表明，QIP-M-SCI方案相比传统L1-SCI方案具有更高精度，为复杂分数阶系统建模提供了有效工具。

　　

Highlight

本研究亮点在于开发了结合二次插值(QIP)与修正移位切比雪夫积分(M-SCI)的创新算法，实现了时间分数阶模型的高效求解。

Conclusions

1. 1.

   时间离散化中，QIP方案比传统L1方案精度提升显著，在0<>^3-α)收敛阶

2. 2.

   空间处理采用M-SCI方案，通过解析构建高阶积分矩阵，完美适应四阶微分算子

3. 3.

   数值实验验证了该方法在模拟亚扩散现象和复杂记忆效应系统的优越性

Section snippets

时间离散化的L1方案

定义2.1 Caputo分数阶导数(见式(10))在0<>

IFIM与修正移位切比雪夫积分

通过重构SCP基函数(式(18))，M-SCI方案实现了积分矩阵的解析推导，相比传统SCI方案计算效率提升约40%。

时间分数阶扩散方程全离散化

式(36)展示了如何将分数阶算子转化为矩阵运算，其中A²表示二阶积分矩阵，完美保持了解的正则性。

四阶空间TFPDEs求解

针对式(47)这类高阶方程，构建的A_X⁴算子(多维四阶积分矩阵)展现出惊人的稳定性，即使在大时间步长下仍保持收敛。

误差分析

理论证明在Dirichlet边界条件下，Q-M方案对d维域Ω=[0,L₁]×...×[0,L_d]具有指数级空间收敛速度。

数值实验

在Intel? i7平台测试显示，处理10⁶自由度问题时，Q-M方案比传统方法快3倍且内存占用减少50%。

CRediT作者贡献声明

刘鹏源：算法设计/实现；雷敏：理论分析/计算优化；Hon Yiu-Chung：模型验证/英文润色。