离散标量场中平坦区域的拓扑解歧：一种最小化临界点偏置的新算法

针对二维规则网格采样标量场中平坦区域（flat spots）导致的拓扑分析难题，L. Rocca等人提出了一种基于边界侵蚀和局部规则的解歧算法。该研究通过符号扰动在平坦区域内建立最小临界点集，有效解决了传统Simulation of Simplicity（SoS）方法产生的几何偏置问题，显著提升了Morse-Smale复形的重建精度，为地形分析、流体动力学等多领域数据拓扑表征提供了新工具。

　　

在数字地形模型（DEM）和科学可视化领域，二维标量场中的平坦区域（flat spots）——即具有相同数值的连通像素集——长期困扰着拓扑数据分析（Topological Data Analysis, TDA）。这类区域在湖泊、量化后的缓坡河流等场景中普遍存在，会破坏Morse理论中临界点孤立性的基本假设。传统解决方案如"简单性模拟"（Simulation of Simplicity, SoS）通过构建人工斜坡（ramps）解歧，但会引入大量虚假临界点（spurious critical points），且其几何布局严重依赖斜坡方向，导致Morse-Smale复形（Morse-Smale complex）的拓扑结构和几何形态失真。

针对这一挑战，来自意大利IGAG-CNR研究所的L. Rocca、F. Iuricich和E. Puppo在《Graphical Models》发表研究，提出了一种基于边界分析的创新算法。该工作首先通过边界标记（+/?符号）对平坦区域进行分类，证明了解歧所需临界点的最小数量定理；随后设计了一套基于优先级队列的局部移动规则，通过渐进式边界侵蚀在平坦区域内植入临界点，最终构建出几何偏置更小的符号梯度场。

关键技术包括：1）基于4/8邻域关系的平坦区域边界标记系统；2）通过查找表（lookup table）实现的7类合法移动规则（如薄突起侵蚀、链断裂等）；3）结合Union-Find数据结构处理多边界融合；4）与TTK（Topology ToolKit）对比时采用的数值扰动策略，确保离散梯度场一致性。实验数据涵盖合成数据集（CosCos、GaussHills）和真实地形（Aletsch Glacier、Graian Alps）、生物医学图像（Cells）及地幔对流数据（Mantle）。

研究结果主要体现在三方面：

1. 1.

   临界点定位精度

   在GaussHills量化数据集中（平坦区域覆盖率100%），新算法恢复的临界点与原始位置平均距离仅为TTK方法的1/3。盒线图显示其最大/最小值定位误差始终低于0.2网格单位，而TTK受斜坡方向影响误差可达0.6单位。

2. 2.

   拓扑结构保真度

   量化后的Aletsch Glacier数据（99.97%平坦覆盖率）经新算法处理，其Morse-Smale复形与原始数据的匹配度达82%，显著优于TTK三种策略（垂直/水平斜坡为45%-50%，随机索引约75%）。随机索引虽能改善拓扑连接性，但分离线（separatrix）在平坦区域内呈现无规则蜿蜒。

3. 3.

   计算效率

   基于优先级队列的算法时间复杂度为O(NlogN)，实测中处理百万级网格的平坦区域分类与解歧可在秒级完成。芬兰数据集（1200×800网格）在Apple M3 Pro上的全流程耗时仅3.7秒。

讨论部分指出，该方法的优势在于：

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  最小临界点原则：通过定理1严格约束每个平坦区域必须包含的临界点数量，避免SoS产生的冗余拓扑噪声。

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  几何合理性：边界侵蚀策略使临界点倾向于出现在平坦区域内部而非边界，更符合地形学特征（如山峰应位于高原中心而非边缘）。

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  模型普适性：算法在双线性模型（bilinear model）、阶梯模型（step model）和梅花模型（quincunx model）中具有一致性表现。

研究同时揭示了当前局限：对"花生形"平坦区域（peanut-shaped flat spot）可能低估临界点数量，未来需结合形态学特征优化移动优先级。团队计划将方法扩展至三维网格和不规则三角网（TINs），并探索基于深度学习的数值重建策略，以解决量化数据中的条带效应（banding effect）问题。这项成果为地理信息系统（GIS）、医学影像分析等需要精确拓扑表征的领域提供了重要工具。