β-时间分数阶广义Kadomtsev-Petviashvili方程的解析孤子解及其稳定性分析

本文针对β-时间分数阶广义Kadomtsev-Petviashvili (gKP) 方程，采用(δ'/δ,1/δ)-展开法，首次系统求解了(3+1)维非线性模型的精确孤子解。研究获得了包括钟型、反钟型、抛物型等新颖孤子结构，并通过稳定性分析验证了解的鲁棒性，为分数阶非线性系统在流体力学、等离子体物理等领域的应用提供了理论工具。

　　

在非线性科学领域，描述多维空间复杂波动的Kadomtsev-Petviashvili (KP)方程一直备受关注。传统整数阶模型在刻画记忆效应和非局部特性时存在局限，而分数阶微积分的引入为模拟真实物理系统的非马尔可夫过程提供了新途径。特别是Atangana等人提出的β-时间分数阶导数，因其满足全部微分规则且无零域失效问题，成为近年来建模粘弹性介质、反常扩散等现象的有力工具。

Mawlana Bhashani科学与技术大学数学系的研究团队针对(3+1)维β-时间分数阶gKP方程，创新性地采用(δ'/δ,1/δ)-展开法进行解析求解。该方程形式为θ_xxxy+3(θ_xθ_y)_x+D_t^βθ_x+D_t^βθ_y+D_t^βθ_z-θ_zz=0，其中β∈(0,1]为分数阶参数。研究通过引入变量变换ξ=ρ₁x+ρ₂y+ρ₃z-ν/β(t+1/Γβ)^β，将原方程转化为常微分方程，并基于辅助方程δ''(ξ)+λδ(ξ)=μ的三种解形式，系统构建了丰富的孤子解族。

关键技术包括：(1) β-导数与经典导数的转换关系D_t^βF(t)=(t+1/Γβ)^1-β?F/?t；(2) (δ'/δ,1/δ)-展开法的参数平衡策略；(3) 双曲函数、三角函数与有理函数的组合求解技巧；(4) 基于Lyapunov指数的稳定性判定方法。

主要结果

1. 双曲函数解族：当λ<0时，获得包含tanh(·)和sech(·)组合的钟型孤子，如图1所示参数下呈现典型孤立波特征。特别发现当τ₂=0时，解退化为θ=±√(-λ)tanh(√(-λ)ξ)的标准扭结孤子。

2. 三角函数解：λ>0条件下，解表现为周期性波动形式θ=√λcot(√λξ)，通过参数调控可产生如图3所示的呼吸子结构。

3. 有理函数解：λ=0时导出抛物线型解θ=μξ²/2+τ₁ξ+τ₂，如图4展示的U型波在t=5时振幅达最大值15.3。

4. 复合型孤子：通过调节参数ρ₁,ρ₂,ρ₃的相对大小，首次得到如图6所示的W型三峰孤子，其最大特征高度与β值呈负相关。

稳定性与讨论

通过扰动分析发现，当|λ|>0.5时所有解均满足Lyapunov稳定性条件。特别值得注意的是，β→1时解退化为经典KP方程结果，验证了方法的兼容性。研究首次系统揭示了分数阶指数β对孤子传播速度的非线性调控规律：v∝β^-1(t+1/Γβ)^β-1，这一发现为光学孤子压缩提供新思路。

该成果发表在《Franklin Open》期刊，不仅完善了分数阶非线性波理论体系，更为设计新型孤子调控器件（如分数阶光纤）提供了理论基础。文中发展的(δ'/δ,1/δ)-展开法可推广至其他分数阶偏微分方程，具有方法论上的普适意义。未来工作将聚焦于实验验证，特别是在β≈0.85参数区间预测的"慢孤子"现象，可能在海洋内波监测中具有应用潜力。