一种无监督的深度替代模型，结合有限体积方法求解具有多变多点源的参数化地下水流动方程

《Journal of Hydrology》：Unsupervised deep surrogate model integrating with finite volume method for solving parametrized groundwater flow equations with varying multi-point sources

地下水多源动态预测的深度学习替代模型研究。摘要：针对传统地下水数值模型计算成本高、参数化复杂的问题，本文提出基于深度学习的替代模型，通过有限体积法构建损失函数指导UNet训练，实现无监督学习多源井布局与地下水位的映射关系。实验表明，模型在异质性介质中均方误差达1e-2.5，当井数增至8时超越数据驱动方法（1e-2.0），且泛化能力更强、预测更平滑。

　　本研究旨在解决地下水动力学中多点源参数化问题的实时预测难题，这对于地下水的可持续管理和决策制定具有重要意义。地下水作为许多地区饮用水和灌溉水源的重要组成部分，其流动特性受到多种复杂因素的影响，这些因素使得地下水保护和可持续利用面临严峻挑战。传统的数值模型虽然在理论上具有坚实的根基，并且在实际应用中得到了广泛使用，但由于其模型开发过程复杂、计算成本高昂，导致在面对不断变化的抽水井位置和抽水速率时，难以满足实际需求。因此，开发一种替代模型成为一种有效途径，以提供更加便捷和高效的地下水流动预测。

在本研究中，我们提出了一种基于深度学习的替代模型，用于解决具有多点源参数化的地下水方程。该模型能够在无监督学习的框架下，自动学习抽水井布局（如抽水井或注水井的数量和位置）与地下水位之间的关系。这种能力使得模型能够作为替代模型，用于预测在随机变化的点源条件下地下水动力学的变化，而无需运行计算密集型的数值模型。我们采用有限体积法（FVM）构建损失函数，以指导神经网络在UNet架构下进行训练。该模型不仅能够方便地应用于解决具有不连续扩散张量系数的多点源问题，还能够在没有预先计算数据集的情况下，提供一定程度的理论保证。

与传统数值方法相比，数据驱动的替代模型在某些情况下展现出更高的灵活性和效率。然而，这些方法在处理复杂参数设置的问题时，往往存在一定的局限性。特别是在面对高维问题时，如抽水井数量、位置和抽水速率的组合变得更加复杂，数据驱动方法的性能往往会受到限制。此外，数据驱动方法通常会产生较为粗糙的预测结果，而我们的方法则能够在保证预测精度的同时，提供更加平滑的结果，显示出更强的泛化能力。

本研究的创新点在于提出了一种兼容任何传统数值方法的伪标签生成器。该生成器基于有限体积法和雅可比迭代法，用于构建无监督训练所需的伪标签数据。通过这种方式，我们能够在不依赖于预定义标签数据集的情况下，训练出一个具有较高预测能力的神经网络模型。在模型构建过程中，我们采用了UNet架构，该架构由编码器和解码器组成，分别用于特征提取和特征重建，从而实现对地下水方程的近似求解。

在模型训练方面，我们设计了一种有效的训练策略，以确保模型能够准确捕捉地下水流动中的关键特征。通过引入伪标签数据，我们能够在训练过程中减少对大规模数据集的依赖，从而降低计算成本。同时，该方法能够在处理地下水流动中的异质性和各向异性特性时，表现出良好的适应性。我们通过对多个实际案例的测试，验证了该模型在不同复杂度问题中的性能表现。

为了全面评估所提出方法的有效性，我们选择了四个具有逐步增加复杂度的参数化问题进行数值实验。这些问题涵盖了从简单到复杂的地下水流动场景，具有重要的实际意义。通过这些案例的测试，我们能够更深入地理解该方法在不同条件下的适应性和性能表现。所有问题均采用诺伊曼边界条件，这在地下水流动模拟中是一种常见且重要的边界条件类型。

在数值实验中，我们比较了所提出的深度替代模型与数据驱动方法的性能。结果显示，当处理具有异质扩散系数的问题时，我们的模型能够继承有限体积法的优势，准确预测出与数值参考解接近的解决方案，其平均L2误差达到了1e-2.5的水平。这一误差范围表明模型在处理复杂扩散特性时具有较高的精度。此外，当抽水井数量固定为四时，我们的模型的平均L2误差达到了1e-4的水平，与数据驱动方法的性能相当。随着抽水井数量增加到八，我们的模型在平均L2误差方面表现出更强的优势，达到了1e-2.5的水平，而数据驱动方法的误差则为1e-2.0。这表明我们的模型在处理大规模参数化问题时具有更好的稳定性。

在面对更加复杂的参数组合问题时，我们的模型仍然能够保持其性能优势。这一结果表明，该模型不仅适用于简单的地下水流动场景，还能够有效应对具有更高复杂度的实际情况。此外，我们的模型在预测结果的平滑性方面优于数据驱动方法，显示出更强的泛化能力和更稳定的预测结果。

为了进一步验证模型的性能，我们进行了详细的数值实验。实验过程中，我们使用了不同规模的训练数据集，并调整了伪标签生成器的迭代步骤。通过这些调整，我们能够更有效地训练模型，使其在面对不同参数设置时都能保持较高的预测精度。此外，我们还测试了模型在处理不同边界条件和不同初始条件时的适应性，确保其能够在多种实际场景中发挥应有的作用。

在实际应用中，地下水流动模拟通常需要处理大规模的计算任务，这使得传统的数值方法在面对复杂问题时显得不够高效。而我们提出的深度替代模型能够在保证预测精度的同时，显著降低计算成本和时间。这种高效的预测能力使得模型在实际工程应用中具有重要的价值，特别是在需要实时预测地下水流动状态的情况下。

此外，我们还探讨了该模型在处理地下水流动中的异质性和各向异性特性时的表现。这些特性在实际地下水系统中非常常见，但由于传统方法在处理这些问题时往往存在一定的局限性，因此需要一种更加灵活和高效的替代方案。我们的模型通过引入伪标签数据，能够更好地捕捉这些特性，从而在预测结果中表现出更高的准确性和稳定性。

综上所述，本研究提出了一种基于深度学习的替代模型，用于解决具有多点源参数化的地下水流动问题。该模型结合了有限体积法和UNet架构的优势，能够在无监督学习的框架下，提供高效、准确的地下水流动预测。通过多个数值实验的验证，我们证明了该模型在处理不同复杂度问题时的性能优势，特别是在面对大规模参数化问题和复杂扩散特性时。这一研究为地下水管理提供了新的思路和技术手段，有助于提高地下水模拟的效率和准确性。