分数阶导数建模乳腺癌免疫治疗动力学：基于CAR-T细胞的电路分析与机制研究

本研究针对乳腺癌免疫治疗中肿瘤-免疫系统动态交互的复杂机制，创新性地采用Caputo分数阶导数(CFD)构建三维数学模型，整合CAR-T细胞疗法参数，通过电子电路实现系统仿真。研究证实了模型解的存在唯一性，揭示了α=1时系统稳定性与治疗响应的非线性关系，为优化免疫治疗方案提供了量化工具。

　　

乳腺癌作为全球女性健康的首要威胁，其治疗面临两大核心难题：肿瘤微环境的免疫抑制特性使得传统疗法效果有限，而动态监测治疗响应的技术手段匮乏。尽管CAR-T细胞疗法在血液肿瘤中取得突破，但其在实体瘤中的应用仍受制于复杂的肿瘤-免疫相互作用机制。传统整数阶微分方程难以准确刻画这种具有记忆效应的生物过程，亟需更精确的数学工具来解析治疗过程中的非线性动力学特征。

印度图姆库尔大学数学系（Department of Studies and Research in Mathematics, Tumkur University）的Chandrali Baishya团队在《Scientific African》发表研究，通过建立包含肿瘤细胞(u)、细胞毒性T淋巴细胞(v)和CAR-T细胞(w)的三变量分数阶模型，首次将Caputo分数阶导数(CFD)引入乳腺癌免疫治疗动力学分析。该模型成功捕捉到治疗过程中细胞群体的记忆效应和非局部特性，其电路实现方案为临床前预测治疗响应提供了可量化的实验平台。

研究采用四大关键技术：①基于临床数据的参数估计（肿瘤生长率γ₁=0.6387，CTL杀伤系数β=1）；②Caputo分数阶微分方程构建（0<>

【模型构建】
通过引入CFD算子^CD^α，团队建立了包含逻辑增长项和Holling II型功能反应项的动力学方程组。关键创新在于采用分数阶积分描述CAR-T细胞(w)的"记忆效应"：其当前活性不仅取决于瞬时肿瘤负荷(u)，还受历史接触抗原的累积影响。相空间分析显示，当阶数α从1降至0.7时，系统稳定域扩大23%，证实分数阶模型更符合生物系统特性。

【电路实现】
研究团队创新性地将数学模型转化为等效电路系统，其中：

• 肿瘤增殖模块用可变电阻模拟生长率γ₁
• CAR-T杀伤模块采用跨导放大器实现非线性项ρu(w/(l₁+w))
• 分数阶积分器通过链式RC网络实现（α=0.9时误差<4.7%）
  LabVIEW仿真显示，当β>0.5且ρ>15时，系统能在60天内将肿瘤负荷抑制至初始值5%以下。

【稳定性分析】
通过构造Lyapunov函数，团队证明当基本再生数R₀=[k₁γ₂]/[(l₂+k₁)(d+ξk₁)]<1时，无瘤平衡点全局稳定。值得注意的是，分数阶系统比整数阶模型提前14天达到稳定状态，这与临床观察到的免疫应答延迟现象高度吻合。

这项研究开创性地将分数阶微积分理论与肿瘤免疫治疗相结合，其价值体现在三个维度：

1. 理论层面：首次证明CFD能更精确描述CAR-T细胞的"耗竭-记忆"转换动力学，为免疫建模提供新范式；
2. 技术层面：开发的电子电路系统成本仅为流式细胞仪的1/20，适合资源有限地区开展治疗监测；
3. 临床层面：参数敏感性分析揭示ρ（CAR-T杀伤效率）是决定治疗成败的关键因素，指导临床优先优化该参数。

研究存在的局限性包括未考虑肿瘤空间异质性，以及电路实现中部分非线性项的近似处理。未来工作将整合PET-CT影像数据，开发四维时空分数阶模型，进一步推动精准免疫治疗的发展。