综述：半空间深度（Halfspace Depth）

这篇综述系统阐述了半空间深度（HD/Tukey Depth）这一非参数统计工具，其通过超平面切割最小数据比例的原理（式3），构建了多元数据的稳健中位数估计和几何轮廓分析（式1）。文章详述了HD的仿射不变性（式7）、拟凹性（式9）等理论特性，及其在数据可视化（如袋图bagplot）、分类（DD-plot）和异常值检测（式25）中的应用，同时探讨了椭圆对称分布（式12）下的显式解（式13）和高维计算挑战（第4章）。

　　

半空间深度：从理论到应用的多元统计利器

3.1 显式HD与椭圆对称分布
半空间深度（HD）在椭圆对称分布中展现出优雅的解析特性。当概率密度函数呈f(x)=g((x-μ)^TΣ^-1(x-μ))形式时（式12），其深度函数可简化为D(x;P)=F₁(-√(x-μ)^TΣ^-1(x-μ))（式13），其中F₁表示一维投影的分布函数。这种结构使得中心区域D_α呈现为与马氏距离等价的同心椭球（式17），为多元统计分析提供了直观的几何解释。

3.3 唯一性与Dupin定理
基于凸几何中的Dupin定理，当概率分布均匀分布于凸体时，其半空间中位数必然唯一。这一结论源于每个最小化半空间的边界超平面都必须是凸体的重心切割（barycentric cut）。有趣的是，该定理延伸出Grünbaum公开问题：是否所有凸体都存在至少d+1个不同重心切割的交点？这至今仍是深度理论研究的前沿课题。

5.1 袋图：多元箱线图的革命
Rousseeuw等提出的袋图（图2右）创新地将HD转化为可视化工具：橙色半空间中位数作为位置估计，包含50%数据的"袋"（bag）对应箱线图的箱体，而通过3倍膨胀系数生成的"围栏"（fence）则实现了异常值自动标记（式22）。这种设计在保持稳健性的同时，完美捕捉了双变量数据的空间分布特征。

6.3 函数型HD的困境与突破
传统函数型HD在L²空间面临深度退化问题——几乎所有点的深度为零。Narisetty等提出的下确界深度（式26）通过逐点投影克服此障碍：D_inf(x;P)=inf_t∈[0,1]D(x(t);P_t)，其中P_t为t时刻的边际分布。虽然计算简便，但该方法对函数形态特征不敏感，这促使Yeon等开发正则化半空间选择策略，为函数型数据分析开辟新径。

前沿挑战与发展方向
当前HD研究面临三大瓶颈：高维计算复杂度（第4章）、无限维空间的理论缺陷（6.3节），以及分布表征的非唯一性（3.8节）。值得注意的是，Chen等发展的散射半空间深度（scatter halfspace depth）为参数估计提供了新思路，而局部半空间深度（local halfspace depth）通过放松拟凹性约束，正在推动非参数统计的边界扩展。这些进展共同勾勒出深度理论未来的发展蓝图。