非线性方程求解中两步四阶迭代法的局部收敛与稳定性分析：突破高阶导数限制的新方法

研究人员针对非线性方程求解中传统迭代方法对高阶导数依赖性强、收敛半径受限等问题，开发了一种基于双变量权函数的两步四阶迭代法。该方法通过引入收敛半径计算机制，仅需一阶导数信息即可实现最优收敛（3函数+1导数计算/步），在Ω=[-0.5,1.5]区间测试中展现出优于经典方法的稳定性与收敛域。理论证明其误差项满足en+1=-1/2d2(4A11d22+A02d22-4βd22+2d3)en4+O(en5)，为复杂函数求解提供了更普适的工具。

　　

在科学与工程计算中，非线性方程D(s)=0的求解犹如寻找黑暗森林中的指南针。尽管牛顿法等传统迭代工具已被广泛使用，但它们对初始猜测的敏感性就像走钢丝——稍有不慎就会坠入发散深渊。更棘手的是，现有方法通常需要函数具备高阶可导性（如四阶导数），这在实际应用中就像要求运动员必须穿着高跟鞋完成跨栏比赛，严重限制了方法的普适性。

巴基斯坦巴赫丁·扎卡里亚大学纯正与应用数学高级研究中心的研究团队决心打破这一僵局。他们在《Kuwait Journal of Science》发表的创新研究中，巧妙设计了一个"双保险"策略：通过构造双变量权函数A(p_n,q_n)（其中p_n=[D(s_n)+βD(y_n)]/[D(s_n)+(β-2)D(y_n)]，q_n=D(y_n)/D(s_n)），成功实现了仅依赖一阶导数信息就能达到四阶收敛精度的突破。

研究团队采用的核心技术包括：1）基于泰勒展开（Taylor expansion）的局部收敛性分析框架；2）满足Lipschitz条件（|D'(ξ)^-1(D'(s)-D'(ξ))|≤Υ₀|s-ξ|）的函数类构造；3）通过标量函数h₁(k)=Υk/[2(1-Υ₀k)]确定收敛半径r=min{r₁,r₂}；4）利用动力系统理论分析迭代算子的稳定性。

【方法设计】
研究人员将经典King方法重新设计为两阶段架构：第一阶段y_n=s_n-D(s_n)/D'(s_n)完成二阶逼近，第二阶段s_n+1=y_n-A(p_n,q_n)D(y_n)/D'(s_n)进行精度提升。通过将权函数A(p,q)在(0,0)处展开为A₀₀+(A₁₀p+A₀₁q)+1/2!(A₂₀p²+A₀₂q²+2A₁₁pq)，系统分析了参数约束条件（A₀₀=A₂₀=0, A₁₀=1, A₀₁=-A₁₁）对收敛阶数的影响。

【收敛性证明】
通过构造误差传递方程e_n+1=s_n+1-ξ，团队严格证明了当初始点s₀∈Γ(ξ,r)时，迭代序列满足|y_n-ξ|≤h₁(|s_n-ξ|)|s_n-ξ|和|s_n+1-ξ|≤h₂(|s_n-ξ|)|s_n-ξ|的双重收缩条件，其中h₁(k)=Υk/[2(1-Υ₀k)]，h₂(k)=[1+S₂/(1-Υ₀k)A(S₂(1+βh₁(k))/(1-b₁(k)), S₂h₁(k)k/(1-b₂(k)))]h₁(k)。

【稳定性创新】
针对典型测试函数D(s)=s⁵-s⁴+s³ln(s²)（在s≠0时），研究展示了新方法在D'''(s)=60s²-24s+6ln(s²)+22无界情况下的独特优势。通过有理算子J_m(z?,β)的临界点分析，发现当β∈(0.5,1.5)时方法具有最广的稳定域，这为参数选择提供了明确指导。

这项研究犹如为非线性方程求解领域安装了一台"自适应引擎"：既摆脱了对高阶导数的依赖（放宽了函数光滑性要求），又通过收敛半径计算实现了初始点的智能选择。特别值得关注的是，该方法在处理像s³ln(s²)这类具有奇异性的函数时，展现出比传统方法更稳健的表现，为计算流体力学、结构分析等涉及复杂本构方程的实际问题提供了新工具。团队建立的h₁-h₂双标量函数分析框架，也为多步迭代法的理论分析树立了新范式。