变分多尺度无网格伽辽金法在三维稳态磁流体动力学管道流中的创新应用

针对高Hartmann(Ha)数下三维磁流体动力学(MHD)问题因对流主导导致传统Galerkin方法数值振荡的难题，云南师范大学张小花团队提出变分多尺度无网格伽辽金(VMEFG)方法。该方法融合变分多尺度稳定化机制与无网格优势，在立方体/球体等复杂域中实现高精度计算，为核聚变反应堆设计等工程应用提供可靠工具。

　　

磁流体动力学(Magnetohydrodynamics, MHD)作为研究导电流体与磁场相互作用的交叉学科，在核聚变反应堆、天体物理等领域具有重要应用价值。然而当Hartmann(Ha)数增大时，三维MHD问题会陷入"对流主导"的困境——就像试图在飓风中测量雨滴轨迹，传统数值方法因缺乏稳定化机制而产生剧烈数值振荡。更棘手的是，复杂三维几何下的网格生成往往需要耗费数月时间，这成为制约MHD工程应用的"阿喀琉斯之踵"。

云南师范大学数学学院张小花团队在《Journal of Computational Science》发表的研究中，创新性地将变分多尺度(Variational Multiscale, VM)思想注入无网格伽辽金(Element Free Galerkin, EFG)方法，构建出VMEFG这一"数值稳定器"。该方法巧妙回避了传统有限元法"网格依赖"的缺陷，其核心突破在于通过解析解尺度分解，自动生成稳定化参数——这相当于为数值计算装上了"自适应减震系统"，无需人工干预即可抑制高Ha数下的非物理振荡。

研究采用移动最小二乘(Moving Least Squares, MLS)近似构建形函数，结合任意凸多面体节点影响域技术实现边界条件精准施加。针对三维稳态MHD控制方程，通过变分多尺度分解将解场划分为可解析的粗尺度项?和解析确定的细尺度项u′，后者通过格林函数法转化为等效稳定项。这种"分而治之"的策略使方法兼具EFG的几何适应性与VM的数值鲁棒性。

数值实验部分呈现四大典型案例：立方体域验证显示VMEFG在Ha=10⁴时仍保持稳定，速度场相对误差较传统EFG降低82%；环形立方体域测试中，交叉磁场(α=45°,β=30°)下的电流密度分布与文献结果吻合；球域算例成功捕捉到Ha=5000时南极区域的磁边界层分离现象；最复杂的环形球域计算中，方法在倾斜磁场条件下仍维持质量守恒性。这些结果证实VMEFG能精确解析三维MHD流动的"三向耦合"特征。

结论部分指出，该研究首次将VMEFG拓展至三维MHD领域，其"参数自生成"特性突破了传统稳定化方法需经验调参的局限。相比需要200万网格的有限元法，无网格特性使复杂几何建模效率提升90%以上。这项成果为托卡马克装置中的湍流控制、液态金属冷却系统优化等国家重大需求问题提供了新的"数值显微镜"，也为其他多物理场耦合问题研究开辟了新路径。未来工作将聚焦于瞬态MHD问题和GPU并行加速算法的开发。