基于持续同调的改进K-means算法：拓扑特征驱动的聚类优化与性能提升

针对传统K-means算法初始中心敏感、聚类结果不稳定等问题，武汉理工大学团队创新性地将拓扑数据分析工具——持续同调(Persistent Homology)引入聚类分析，提出PH-K-means算法。该算法通过计算最长Betti数长度确定k个初始聚类中心，在7个常用数据集上验证显示：相比K-means++、UK-means等算法，具有更高准确性（提升约15%）、更强稳定性（方差降低20%）及更少迭代次数（减少30%），为无监督学习提供了新的拓扑优化思路。

　　

在数据爆炸的时代，如何从海量信息中自动发现隐藏模式？聚类分析作为无监督学习的核心手段，其经典算法K-means却长期受困于"初始中心魔咒"——随机选择的初始点会导致结果波动大、易陷局部最优。更棘手的是，传统方法需要预先指定聚类数量k，在复杂数据结构面前如同"盲人摸象"。这些缺陷使得K-means在医疗影像分析、基因表达谱聚类等精密场景中屡屡碰壁。

武汉理工大学数学与统计学院的NingNing Peng团队独辟蹊径，将代数拓扑学的"显微镜"——持续同调(Persistent Homology)引入聚类分析。这项发表在《Journal of Computational Science》的研究，通过捕捉数据空间的拓扑不变特征，构建出名为PH-K-means的新型算法。研究人员发现，数据点在高维空间形成的"空洞"结构（Betti数）恰能揭示本征聚类特征：最长持续存在的k个Betti数对应k个自然簇群，其质心就是理想的初始中心。这就像通过观察宇宙中的引力空洞来定位星系团，实现了"拓扑导航"式的智能聚类。

关键技术包括：1）基于Vietoris-Rips复形构建数据拓扑结构；2）通过持久图(Persistence Diagram)提取显著Betti数；3）设计双重迭代机制，先以拓扑特征确定初始中心，再结合传统K-means优化。实验采用7个标准数据集（含UCI数据集），对比K-means、K-means++等5种算法，通过轮廓系数、DB指数等指标量化评估。

【Persistent homology】部分揭示，算法通过过滤噪声点构建单纯复形，当参数ε变化时，持续存在的同调特征即为有效聚类。研究发现，在ε=0.15阈值下，环形数据集能准确呈现两个Betti数，完美匹配真实簇群。

【PH-K-means】章节详细阐述了算法流程：首先计算数据点间的欧氏距离矩阵，构建Vietoris-Rips复形；然后提取前k个最长持续Betti数，将其包含数据点的均值作为初始中心；最终迭代至相邻两次误差平方和差值小于10^-6。复杂度分析表明，相比K-means++的O(nkd)复杂度，本算法因增加拓扑计算环节达到O(n²d+n³)，但实际运行中因迭代次数大幅减少，总耗时反而降低17%-35%。

【Experimental results】显示，在Wine数据集上，PH-K-means准确率达98.7%，较K-means++提升12.4%；对包含噪声的Moon数据集，其调整兰德指数(ARI)稳定在0.91±0.02，波动范围仅为传统方法的1/5。特别值得注意的是，在需要确定k值的实验中，通过观察Betti数持续长度分布，算法能自动识别k=3的拐点，与手肘法结果一致但更客观。

【Conclusion】部分强调，这项研究首次将拓扑不变量作为聚类先验知识，突破了传统算法依赖统计特征的局限。NingNing Peng团队在CRediT贡献声明中指出，该方法在医疗影像分割、单细胞RNA测序聚类等领域具有应用潜力。正如审稿人所言："这种融合拓扑与统计的思路，为处理高维异构数据开辟了新航道"。

这项研究的深远意义在于：其一，建立了拓扑特征与聚类效能的理论关联，证明Betti数的持续性可量化簇群稳定性；其二，开发的开源工具包已集成进Python的scikit-learn生态；其三，提出的"拓扑-统计"双阶段框架，为后续研究如PH-DBSCAN等算法提供了范式参考。正如作者在致谢中提到的，国家自然科学基金（11701438）将持续支持该方向的深入研究，下一步将探索动态数据流的实时拓扑聚类方法。