基于对数导数分位数变换的分布数据聚类回归方法及其应用

为解决分布数据(DDA)分析中回归模型参数非负约束的限制问题，研究人员提出基于对数导数分位数(LDQ)变换的聚类回归方法(CLR-LDQ)。该方法通过LDQ变换将分布数据映射至希尔伯特空间，建立无约束线性回归模型，并采用交替优化算法实现数据聚类与回归建模同步优化。实验证明该方法在合成和真实数据集(如空气质量PM10/PM2.5分析)中优于全局模型，为符号数据分析(SDA)提供了新范式。

　　

在气象监测、金融统计等领域，传统数据分析常面临将个体数据聚合为分布形式的需求。例如描述某地区全年温度分布或股票日内收益率分布时，简单的均值或分位数会丢失数据内在变异性。E. Diday提出的符号数据分析(SDA)虽能通过直方图、区间值等表征分布特征，但现有回归方法如Irpino和Verde提出的Wasserstein距离模型需强制参数非负，严重限制模型灵活性。

针对这一瓶颈，Antonio Balzanella、Rosanna Verde和Francisco de A.T. de Carvalho团队在《Knowledge-Based Systems》发表研究，创新性地采用对数导数分位数(Logarithmic-Derived Quantile, LDQ)变换。该技术源自Petersen和Mueller的突破性工作，能将概率密度函数映射至希尔伯特空间，从而解除参数非负约束。基于此，团队开发了分布数据的聚类回归框架CLR-LDQ，通过交替优化算法同步实现数据聚类与回归建模，并在意大利伦巴第大区空气质量数据(PM₁₀/PM_2.5/O₃/NO₂)验证了其优越性。

关键技术包含：1) LDQ变换实现分布数据希尔伯特空间嵌入；2) 基于最小二乘的无约束线性回归(OLS-LDQ)建模；3) 交替优化算法同步求解K个聚类及其回归模型，目标函数最小化簇内误差平方和。

Cluster-wise线性回归方法
提出CLR-LDQ算法分两阶段迭代：先固定聚类划分估计K个回归模型，再根据模型误差重新分配数据。理论证明该算法能收敛至稳定解。相比传统方法，新模型允许回归系数为负值，更符合实际数据特性。

实验分析
在空气质量数据中，以PM₁₀为响应变量，PM_2.5/O₃/NO₂为预测变量，CLR-LDQ成功识别出污染模式差异显著的子区域。合成数据测试显示，即使存在多重共线性，该方法仍保持稳定性，且在小样本场景下优于Zhao等提出的偏最小二乘模型。

结论与意义
该研究首次将LDQ变换引入聚类回归领域，解决了分布数据建模的核心限制。实际应用中，该方法能精准捕捉区域污染特征的异质性，为环境政策制定提供数据支持。理论层面，通过希尔伯特空间映射的技术路线，为符号数据分析(SDA)开辟了新方向，未来可扩展至时间序列分布预测等领域。