广义q-Mittag-Leffler函数在分数阶q动力学方程中的应用：基于q-Shehu变换的新方法

本文针对分数阶q-微积分领域的关键问题，研究团队通过引入五参数广义q-Mittag-Leffler函数(q-GMLF)，结合q-Riemann-Liouville积分、q-Weyl导数等算子，创新性地建立了基于q-Shehu变换的解析方法，成功求解了复杂分数阶q-动力学方程。该研究不仅完善了q-微积分理论体系，还为物理、工程等领域的非整数阶系统建模提供了新工具，相关数值解通过MATLAB 23实现可视化验证。

　　

在数学物理与工程科学交叉领域，分数阶微积分正成为描述复杂记忆效应的核心工具。传统整数阶模型难以刻画材料的非局部特性、反常扩散等现象，而q-微积分作为分数阶理论的量子化延伸，通过引入变形参数q，为离散系统和尺度相关过程提供了更精细的数学描述。然而，现有研究在求解涉及多参数特殊函数的分数阶q-动力学方程时，仍面临解析方法匮乏、计算复杂度高等瓶颈问题。

针对这一挑战，国内研究团队在《Kuwait Journal of Science》发表创新成果，通过系统研究五参数广义q-Mittag-Leffler函数(q^(γ,c)_?,ξ;δ)的性质，构建了基于q-Shehu变换的解析框架。该工作首先建立了q-GMLF与q-积分算子（包括q-Riemann-Liouville和q-Weyl型）的精确关系式，进而推导出该函数在q-Shehu变换域中的显式表达式。通过引入q-Pochhammer符号(q;q)_n和q-伽马函数Γ_q，研究人员成功将复杂的分数阶q-动力学方程转化为可解的代数方程。

关键技术方面，研究主要依托：1）q-微积分算子理论构建；2）广义q-Mittag-Leffler函数的级数展开技术；3）q-Shehu积分变换的解析推导；4）MATLAB数值验证体系。这些方法的协同应用突破了传统Laplace变换在q-变形系统中的局限性。

【分数阶算子理论创新】
通过定理1严格证明了q-Riemann-Liouville积分算子对q-GMLF的作用规律，给出显式表达式：
I^μ_q[E^(γ,c);δ_?,ξ(v;q)] = v^μ∑_ω=0^∞(B_q(γ+ω,c-γ)/B_q(γ,c-γ))·(q^c;q)_ω/(q^δ;q)_ω·v^ω/Γ_q(?ω+ξ+μ)
该结果将经典Mittag-Leffler函数的积分性质推广到q-变形系统。

【q-Shehu变换体系构建】
在推论3中，研究团队建立了q-Shehu变换与q-GMLF的对应关系：
S_q[y^β-1] = Γ_q(β)(w/s)^β
这一关键公式成为求解分数阶q-微分方程的枢纽，通过变换将时域复杂方程简化为频域代数方程。

【广义q-Weyl算子应用】
定理5创新性地给出q-Weyl积分算子的解析表达式：
K^?,μ_q[E^(γ,c);δ_?,ξ(v;q)] = ∑_ω=0^∞(q^-μωΓ_q(?-ω)/Γ_q(?-ω+μ))·(q^c;q)_ω/(q^δ;q)_ω·v^ω/Γ_q(?ω+ξ)
该结果统一了q-微积分中各类分数阶算子的表现形式。

研究结论部分强调，所建立的q-GMLF理论框架具有三重意义：1）数学上完善了q-特殊函数的运算体系；2）物理上为描述量子群对称系统中的反常输运提供新工具；3）计算上通过q-Shehu变换显著提升求解效率。特别值得关注的是，当参数q→1时，所有结果自动退化为经典分数阶微积分情形，体现出理论的包容性。文末指出，未来可进一步探索该理论在q-热传导方程、量子分数阶控制系统等领域的应用。