基于傅里叶特征映射的深度Ritz方法：解决微结构变分模型的高频多尺度计算挑战

本研究针对非凸能量势场最小化问题中DRM（Deep Ritz Method）存在的频谱偏差问题，创新性地引入傅里叶特征映射（Fourier feature mapping），成功实现了1D/2D多井势场模型的高频多尺度解计算。通过神经正切核（NTK）理论验证了该方法可加速高频特征学习，为微结构演化等复杂变分问题提供了突破性计算工具。

　　

在材料科学领域，马氏体相变诱导的微结构演化（如钢铁、形状记忆合金）始终是研究热点。这类材料的微观三维图案（尺度从纳米到厘米）本质上是非凸能量泛函的极小值解，但传统有限元方法面临网格依赖性、计算成本高等瓶颈。虽然凸化正则化、Young测度等方法可部分缓解问题，但会丢失物理特征或增加计算复杂度。深度神经网络（DNN）的出现带来了新机遇，但包括深度Ritz方法（DRM）在内的算法普遍存在频谱偏差（spectral bias）——神经网络倾向于优先学习低频特征，难以捕捉微结构问题必需的高频振荡解。

美国陆军研究实验室合作团队在《Journal of Computational Science》发表的研究中，提出将傅里叶特征映射与DRM结合（DRM&FM）的创新方案。通过三个典型非凸变分问题（1D双势阱问题、无全局极小值的1D/2D问题）的系统验证，证明该方法能突破传统DRM的频谱限制。关键技术包括：1）构建深度Ritz算法的能量最小化框架；2）应用傅里叶映射重构输入层子流形；3）基于NTK理论分析特征学习速率；4）对比有无傅里叶映射的1D/2D数值实验。

【Deep Ritz算法】部分阐明DRM通过DNN层级变换L^[i]
=σ(A^[i]
L^[i-1]
+b^[i]
)逼近解u(x;θ)，其能量泛函I(u)=∫_D
W(x,u,?u)dx在Sobolev空间H¹
₀
中最小化。

【频谱偏差病理学】章节通过NTK理论证明，传统DRM的特征值衰减速率导致高频学习困难。傅里叶映射使NTK特征谱实现二次衰减（1D情形），理论支持了高频解的学习能力。

【数值结果】展示三个典型案例：1）双势阱问题W=(u_x
²
-1)²
的DRM&FM解呈现预期锯齿状振荡；2）1D无全局极小值问题中，传统DRM增加网络深度仍无法生成高频解，而DRM&FM稳定输出多尺度解；3）2D问题进一步验证方法对复杂微结构模拟的普适性。

结论指出，DRM&FM通过傅里叶映射重构NTK特征谱，首次实现非凸变分问题高频解的稳定计算，且性能不受网络深度限制。该突破对材料相变模拟、多物理场耦合计算等领域具有重要价值，其NTK理论框架也为其他物理驱动深度学习提供了范式参考。研究获得美国陆军研究实验室（W911NF-22-2-0090、W911NF-23-2-0139）资助，相关算法开源将进一步推动计算材料学发展。