双阶段物理信息神经网络DP-PINN+：基于自动相位划分的非线性偏微分方程高精度求解新范式

为解决传统物理信息神经网络(PINNs)在求解"刚性"偏微分方程(PDEs)时存在的误差累积问题，研究人员提出新型双阶段训练方案DP-PINN+。该方法通过自动确定关键时间点ts 实现训练相位划分，利用中间条件约束和新型采样策略，在1D Allen-Cahn方程、3D Navier-Stokes方程等测试中显著提升预测精度，为复杂PDEs求解提供新思路。

　　

在科学计算领域，求解非线性偏微分方程(PDEs)一直是极具挑战性的课题。传统基于物理的数值方法虽然精确，但面对复杂非线性PDEs时计算成本高昂。近年来兴起的物理信息神经网络(PINNs)通过将物理方程约束融入神经网络训练，展现出巨大潜力。然而，标准PINNs在求解具有尖锐空间/时间变化的"刚性"PDEs（如Allen-Cahn方程）时，常出现收敛困难或预测精度不足的问题。现有改进方法如时间自适应PINN或bc-PINN采用分段训练策略，却不可避免地导致误差随训练阶段累积传播，严重影响最终解的准确性。

针对这一瓶颈问题，研究人员开发了DP-PINN+（双阶段物理信息神经网络+）这一创新训练框架。该方法的核心突破在于：首先通过理论分析发现存在关键时间点t_s
，超过该点后预测误差会显著恶化；进而将训练过程智能划分为两个相位——相位1专注获取t_s
时刻的高精度解，相位2利用该解作为额外中间条件指导全域训练。研究团队还创新性地提出了t_s
自动确定算法和动态采样策略，形成了一套完整的优化方案。

关键技术方法包括：1) 基于误差演化特性的t_s
自动检测算法；2) 双相位神经网络训练架构；3) 融合中间条件的损失函数设计；4) 面向关键时间点的自适应采样策略。实验验证采用1D Burger方程、1D Allen-Cahn方程、2D圆柱绕流和3D非定常Beltrami流等多尺度PDEs作为测试基准。

【方法创新】
研究提出三个关键创新：1) 首次发现并量化了PINNs训练中的误差突变现象，确立t_s
的理论意义；2) 开发相位划分算法，通过监测相对L²
误差梯度自动确定最优t_s
；3) 设计"预测-校正"式双阶段训练流程，在相位2引入相位1获得的t_s
解作为强约束条件。

【实验结果】
在1D Allen-Cahn方程测试中，DP-PINN+相比bc-PINN将相对误差降低达82%。对于3D非定常Beltrami流，其速度场预测精度比NSFNets提高67%。特别值得注意的是，该方法在保持高精度的同时，计算成本仅增加15-20%，展现出优异的工程适用性。

【结论与展望】
该研究通过系统分析PINNs在"刚性"PDEs求解中的误差传播机制，开创性地提出双阶段训练范式。理论贡献包括：1) 揭示了误差累积与时间域特性的内在关联；2) 建立了中间条件约束的数学理论基础；3) 发展了面向PDEs求解的智能采样理论。实践意义体现在为计算流体力学、材料相变模拟等领域提供了新的高效求解工具。未来工作将拓展至随机PDEs和多物理场耦合问题，并探索与量子计算相结合的可能性。论文发表于《Journal of Computational Science》，为物理启发的机器学习研究提供了重要范式参考。