基于持续同调与主曲线的视觉感知一致性曲线重建方法研究

本文针对噪声点云中多曲线交叉重建的难题，提出了一种融合持续同调（persistent homology）与局部主曲线（local principal curve）的自动重建方法。通过拓扑数据分析提取点云结构特征，结合B样条曲线拟合，实现了符合格式塔原则（Gestalt principles）的视觉感知一致性重建。该方法在轨迹重建、路径规划等领域具有重要应用价值，为复杂交叉曲线的自动化处理提供了新思路。

　　

在计算机视觉和几何建模领域，从离散点云重建连续曲线是基础性挑战。当点云来自多条交叉闭合曲线且含有噪声时，传统方法难以同时保证拓扑正确性和视觉感知一致性——人类视觉系统会基于格式塔原则（Gestalt principles）中的良好连续性（good continuation）将离散点自动连接为平滑曲线。现有技术如移动最小二乘法（MLS）和PEEL算法等，或无法处理交叉结构，或依赖人工参数调整，亟需自动化解决方案。

针对这一瓶颈，研究人员创新性地将计算拓扑学工具与机器学习方法相结合。通过构建点云的Vietoris-Rips（VR）复形滤并计算其持续同调（persistent homology），系统提取1维持久图中的显著点（significant points），这些点对应的正1-单形（positive 1-simplex）标记了原始曲线的关键拓扑特征。随后采用局部主曲线算法，以自动选择的带宽参数（bandwidth parameter）和起始点生成分段线性近似，最终通过B样条（B-spline）平滑获得符合人类视觉感知的重建结果。

关键技术包括：1）基于VR复形滤的拓扑特征提取；2）通过k-means聚类识别1维持久图中的显著点；3）局部主成分分析（local principal component analysis）确定曲线走向；4）基于特征值λ₁^x的带宽自适应选择；5）冗余曲线过滤机制。

研究结果显示：

1. 拓扑理解：通过1维持久图中显著点的数量可自动确定原始曲线数量，其对应的正1-单形必然位于各原始曲线的采样点上。
2. 参数自动化：将持久图中点投影至直线y=-x后聚类，实现起始点和带宽参数的自主选择，解决了传统主曲线需要人工干预的痛点。
3. 交叉处理：对两条椭圆交叉点云的实验表明，系统能自动分离出5个局部主曲线，经去重后准确重建原始形状。

结论部分强调，该方法首次实现了交叉闭合曲线的全自动分离与重建，其创新点在于：1）将持续同调的拓扑解释能力与主曲线的局部拟合优势结合；2）通过持久图分析实现参数自选择；3）重建结果符合格式塔连续性原则。在医疗影像分析（如血管网络重建）和运动轨迹处理等领域具有重要应用前景。研究还指出，未来可扩展至三维空间曲线及开放曲线的重建场景。

讨论环节特别指出，相较于传统方法如De Goes等提出的最优传输模型，本方法在保持拓扑正确性的同时，对噪声具有更强鲁棒性。通过图4所示的聚类策略，能有效区分真实特征与噪声产生的拓扑信号，这一特性使其在工程实践中更具优势。论文发表于《Graphical Models》，为计算几何与拓扑数据分析的交叉研究提供了新范式。