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针对神经算子求解偏微分方程（PDEs）时低频学习能力不足、无法利用物理先验知识的问题，研究人员提出多尺度低频增强谱神经算子。实验表明该模型低频误差降低 26.7%、精度提升 25.6%，为 PDEs 求解提供新方向。
在科学与工程领域，偏微分方程（PDEs）作为连接现实世界与数学世界的桥梁，广泛应用于空气动力学建模、气象预测等场景。然而，设计通用的人工智能（AI）求解器始终是一项重大挑战。尽管基于神经网络的神经算子（如 Fourier 神经算子 FNO、DeepONet 等）通过学习函数空间的输入输出映射关系，为 PDEs 快速求解提供了新思路，但这类方法在实际应用中暴露出两大关键问题：一是低频信息学习能力不足，而流体 PDEs 中低频分量往往主导整体误差；二是难以有效利用 PDEs 的物理先验知识，尤其是不同方程的频谱分布差异显著，导致模型泛化能力受限。如何提升神经算子在低频区域的表征能力，并将物理先验融入模型设计，成为突破通用 PDEs 求解器瓶颈的核心。
为攻克上述难题，国内研究团队开展了相关研究，提出多尺度低频增强谱神经算子（multi-scale low-frequency enhanced spectral neural operator），其研究成果发表在《Engineering Applications of Artificial Intelligence》。该研究通过创新的架构设计与策略优化，显著提升了神经算子对 PDEs 的求解精度，为复杂物理问题的 AI 建模提供了新范式。
研究人员主要采用的关键技术方法包括：
- 基于多重网格法（multigrid method）的多尺度频率域扩展技术，通过频谱折叠（frequency spectrum folding）和限制 - 插值算子设计，扩大神经算子在频率域的可学习范围；
- 无跳跃连接的残差结构（residual structure），增强低频信息的学习能力并确保 PDEs 求解的正确性；
- 基于 PDEs 频谱分布与神经算子学习模式对应关系的校正策略，通过单层校正模块整合物理先验知识，实现对不同 PDEs 频谱特征的自适应处理。
实验结果
基准数据集验证
研究团队在 Darcy 方程、Navier–Stokes 方程及其变体等流体 PDEs 基准数据集上开展实验。结果表明，与传统神经算子相比，所提模型的低频误差平均降低 26.7%，整体精度提升 25.6%，显著优于 FNO 等基线模型，验证了多尺度低频增强策略的有效性。
深度 FNO 收敛性问题解决
将该架构扩展至深度 FNO 时，成功解决了其难以收敛的问题，误差降低幅度达 90%，表明模型在提升深层网络稳定性方面具有显著优势。
物理先验整合效果
通过分析 PDEs 频谱分布与神经算子学习模式的相关性，设计的校正模块能够有效利用频谱先验知识，使模型在不同频谱特征的 PDEs 求解中保持高鲁棒性，为物理启发的 AI 模型设计提供了新路径。
研究结论与意义
本研究针对神经算子求解 PDEs 的低频误差与物理先验利用难题，提出多尺度低频增强谱神经算子及频谱模式校正策略。通过多重网格法启发的频率域扩展、残差结构设计和物理先验整合，模型在提升低频学习能力的同时，实现了对多样化 PDEs 的自适应求解。实验结果表明，该方法在流体力学等领域的典型 PDEs 中表现出显著的精度优势，并为深层神经算子的收敛性问题提供了解决方案。研究成果不仅拓展了神经算子在科学计算中的应用边界，也为融合物理机理的 AI 模型设计提供了重要方法论参考，有望推动 AI 与传统科学计算的交叉融合，加速复杂物理系统的高效建模与分析。
