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在时间序列分析中，方差恒定假设意义重大。研究人员针对可能存在时变均值趋势的时间序列，开展方差恒定性检验方法的研究。提出两种新测试，模拟显示其在多种情形下更有效且 I 型错误率合理，对多领域时间序列分析意义重大。
在当今数据驱动的时代，时间序列分析广泛应用于金融、地质、工程等诸多领域。从金融市场中股票价格的波动预测，到地震监测里地震信号的分析，再到机械系统中振动数据的处理，时间序列分析都发挥着关键作用。在这些分析中，方差恒定假设是许多统计方法的基石。它就像一座大厦的坚固地基，一旦这个假设不成立，基于此的统计结果可能会产生严重偏差。
想象一下，在地震监测时，如果误判了信号方差的稳定性，可能会将正常的信号波动误判为地震的早期迹象，引发不必要的恐慌；或者相反，忽略了真正的方差变化，从而错过预测地震的最佳时机。在金融领域，错误评估股票价格时间序列的方差恒定性，可能导致投资者做出错误决策，造成巨大的经济损失。然而，现有的许多检验方差恒定性的方法存在缺陷。大部分方法要么假设时间序列的均值函数是恒定的，要么针对独立观测数据，难以适用于实际中普遍存在的具有时变均值趋势的时间序列。在面对非线性时间序列时，一些传统方法的 I 型错误率会大幅上升，使得检验结果的可靠性大打折扣。
为了解决这些棘手的问题，来自未知研究机构的研究人员开展了一项极具价值的研究。他们提出了两种全新的非参数检验方法，用于评估具有可能时变均值趋势的时间序列的方差恒定性。研究成果发表在《Computational Statistics 》上，为时间序列分析领域带来了新的曙光。
研究人员主要运用了两种关键技术方法。一是 Walsh 变换（Walsh transformation），该变换基于 Walsh 函数，Walsh 函数是一种特殊的函数，它像一把精准的手术刀，能够对时间序列数据进行独特的处理。研究人员对经过中心化后的时间序列平方过程进行 Walsh 变换，得到的 Walsh 系数具有一些理想的性质，如渐近独立性。二是平稳自抽样（stationary bootstrap），通过这种方法来估计长期方差，确保方差估计的准确性。
方法开发
研究人员首先构建了时间序列模型 Xt=Xt,T=σ(t/T)Xt?+μ(t/T)，其中 σ(x) 和 μ(x) 是定义在[0,1]上的函数，μ(x) 满足 Lipschitz 连续性，σ(x) 为正且有界远离零，{Xt?,t∈N} 是均值为零、方差为 1 的平稳过程。在此基础上，对平方后的时间序列进行 Walsh 变换，研究 Walsh 系数的性质。通过推导，得出了相应的渐近结果，为后续构建检验统计量奠定了坚实的理论基础。
模拟研究
为了探究新检验方法在有限样本下的性能，研究人员进行了大量模拟实验。按照 Politis 和 Romano 在 1994 年提出的理论，选择了合适的平稳自抽样预期块大小，即λT=O(T1/3) ，实际操作中采用 R 语言中的默认选择，预期块大小为 Cλ×T1/3 ，其中 Cλ=3 。在每个模拟设置下，研究人员进行了 1000 次模拟重复，每次模拟重复中又设置 B=1000 。模拟结果令人惊喜，新提出的方法在许多情况下展现出更强的检验能力，同时能够将 I 型错误率控制在合理范围内，尤其是在处理非线性时间序列时，优势更为明显。
数据分析
研究人员将新方法应用于三个实际数据集。第一个是 1961 年 5 月 17 日至 1962 年 11 月 2 日 IBM 股票收盘价的对数收益率数据集；第二个是来自 Ruanaidh 和 Fitzgerald 在 2012 年提供的测井数据集；第三个是 Jin 在 2021 年分析的机械系统振动时间序列数据集。通过对这些数据集的分析，研究人员成功检测到数据集中可能存在的方差变化，进一步验证了新方法在实际应用中的有效性。
研究结论表明，这两种基于 Walsh 变换的非参数检验方法，为检验具有时变均值趋势的时间序列的方差恒定性提供了可靠的工具。它们不仅在理论上具有良好的渐近性质，在实际模拟和数据应用中也表现出色。这一研究成果意义非凡，为金融市场风险评估、地质信号分析、机械系统故障检测等众多依赖时间序列分析的领域，提供了更为精准、可靠的分析方法，帮助研究人员和从业者做出更准确的决策，推动相关领域的发展迈向新的高度。
