高效实用的含时乘积公式哈密顿量模拟：突破传统，精准刻画量子演化

在量子系统的时间动力学模拟（TDS）中，传统的 Trotter 乘积公式存在局限性。研究人员开展了基于含时乘积公式实现量子系统时间演化的研究，提出 THRIFT 算法。结果显示该算法在模拟特定哈密顿量系统时，性能优于传统公式，对量子模拟研究意义重大。

　　在微观的量子世界里，量子系统的时间动力学模拟（TDS）一直是科研领域的重要课题。它就像一把钥匙，有望打开理解量子世界奥秘的大门，帮助科学家们深入探索量子体系随时间的演变规律。然而，传统的模拟方法，比如 Trotter 乘积公式，虽然简单直接，但在面对一些复杂的量子系统时，却显得力不从心。这些系统的哈密顿量往往包含不同的能量尺度，一部分能量 “大”，另一部分能量 “小” ，用传统公式模拟时，在门复杂度和电路深度方面的表现不尽如人意，无法满足科研的高精度需求。为了攻克这一难题，来自 Phasecraft Ltd.、英国布里斯托大学以及美国马里兰大学等机构的研究人员展开了深入研究。他们致力于寻找一种更高效、更实用的方法，以实现对这类复杂量子系统的精确模拟。最终，他们成功提出了一种基于含时乘积公式的新方法，并开发出 THRIFT 算法。相关研究成果发表在《Nature Communications》上。

研究人员在研究过程中，主要运用了以下关键技术方法：一是利用相互作用绘景（interaction picture），将复杂的哈密顿量演化问题转化为更易处理的形式；二是借助 Magnus 展开（Magnus expansion）和 Fer 近似（Fer approximation）等数学工具，对时间序指数进行近似处理，从而优化算法的误差缩放；三是通过数值模拟，对比多种算法在不同模型中的表现，验证新算法的性能 。

研究结果主要包含以下几个方面：

• THRIFT 算法：考虑哈密顿量H=H0?+αH1?（其中α?1 ，H0?和H1?的范数可比，且U0?=e?itH0?可精确实现），通过相互作用绘景得到更好的起始表达式用于界定误差。研究表明，THRIFT 分解的误差比传统一阶 Trotter 公式小α倍，其误差缩放为O(α2t2) 。此外，基于标准技术，THRIFT 分解可作为高阶近似的种子，k 阶 THRIFT 算法的误差缩放为O(α2tk+1) 。
• 超越二次缩放：为了进一步优化误差缩放，研究人员提出了 Magnus - THRIFT 和 Fer - THRIFT 算法。Magnus - THRIFT 算法基于 Magnus 展开，对于小时间t ，其近似U(t)=e?itH的误差为O((tα)k+1) 。Fer - THRIFT 算法基于 Fer 近似，同样实现了O(αk+1tk+1)的误差缩放。
• 数值模拟：研究人员对多个模型进行了广泛的数值模拟，包括一维和二维横场伊辛模型（transverse - field Ising model）、一维含随机场的海森堡模型（Heisenberg model）以及一维费米 - 哈伯德模型（Fermi - Hubbard model）。在这些模拟中，对比了普通的一阶、二阶乘积公式、铃木四阶公式、数值优化的八阶乘积公式、针对含小扰动哈密顿量优化的四阶公式，以及相应的 THRIFT 电路。结果显示，在横场伊辛模型和海森堡模型中，THRIFT 方法在广泛的演化时间和α值范围内，在门复杂度方面表现更优。在费米 - 哈伯德模型中，对于足够大的模拟时间T≥U?1和小的跳跃项尺度thop?/U ，THRIFT 方法具有优势。

研究结论表明，THRIFT 算法在模拟具有不同能量尺度的哈密顿量时，能够实现比标准乘积公式更好的误差缩放。尽管这些算法在与一些非基于乘积公式的方法比较时，渐近缩放可能不占优势，但在中等规模系统和与系统大小相关的时间演化模拟中，标准乘积公式在实际应用中表现更优，使得 THRIFT 算法在实际应用中具有竞争力。该研究成果为量子计算机模拟量子系统提供了更有效的工具，有助于研究人员探索动力学相变等问题，推动量子模拟领域的发展，使量子计算机能更快地在实际科研和技术应用中发挥重要作用。