Range-dependent Hamiltonian 算法：量子计算中 QUBO 模型构建的创新突破

研究人员针对量子计算中 QUBO 模型构建难题，开展 Range-dependent Hamiltonian 算法研究，提升性能且应用前景佳。

　　在科技飞速发展的当下，量子计算宛如一颗璀璨的新星，正逐渐改变着我们的计算格局。量子计算机凭借着独特的量子态，如叠加、纠缠和干涉等特性，拥有了超越经典计算机的强大计算潜力。它能在众多领域大显身手，像解决线性方程、计算特征值、进行 RSA 加密系统运算以及 CT 图像重建等。其中，二次无约束二进制优化（QUBO）模型在量子计算中占据着重要地位，它能将各种复杂问题转化为寻找最小值的问题，进而借助量子退火（QA）处理器来求解。

然而，QUBO 模型的构建并非一帆风顺。在实际应用中，随着问题规模的增大，变量所需的精度提高，使用的逻辑 qubits 数量也会急剧增加。这使得在量子优化中寻找全局最小能量变得愈发困难，就如同在茫茫大海中寻找一根针，难度极大。而且，当前量子计算机的 qubits 数量有限，这严重限制了 QUBO 模型在大规模问题上的应用。例如，在解决线性系统问题时，由于 qubits 数量的限制，传统方法只能处理规模较小的矩阵。在 RSA 加密系统的质数分解以及 CT 图像重建中，也面临着类似的困境，要么生成的模型需要过多的 qubits，要么随着像素数量的增加，qubits 负载过重，导致计算难以进行。

为了突破这些困境，来自韩国延世大学 Severance 医院放射学系、Quantum Research Center 和 Chungbuk Quantum Research Center 的研究人员 Hyunju Lee 和 Kyungtaek Jun 开展了一项极具创新性的研究。他们提出了一种 Range-dependent Hamiltonian 算法，该算法在构建 QUBO 模型时展现出了卓越的性能，相关研究成果发表在《Scientific Reports》上。

研究人员在研究中主要运用了以下关键技术方法：首先是 QUBO 和 Ising 模型的构建技术，通过将问题转化为相应的模型，为后续的计算奠定基础；其次是子范围划分技术，这是该研究的核心技术，通过将变量的取值范围划分为多个子范围，有效降低了每个子问题所需的 qubits 数量；最后是量子退火技术，利用量子退火处理器寻找 QUBO 模型的最低能量解。

下面来看看具体的研究结果：

1. 求解线性系统：研究人员以求解线性系统的整数解为例，运用子范围算法进行实验。他们将一个线性系统方程用 4 qubits 表示，并构建相应的 QUBO 模型。在实验过程中，发现当变量的取值范围较小时，传统方法难以找到满足条件的解。而通过子范围算法，添加平移向量改变变量的取值范围后，成功找到了满足条件的解。这表明子范围算法能够有效扩大搜索范围，提高找到最优解的概率。
2. 硬件实现：研究人员对 D-Wave 2000Q 和 Advantage 量子退火器进行研究。这两种设备分别拥有 2000 + qubits 和 5000 + 物理 qubits，但由于每个 qubit 之间耦合器的连接性限制，其完全连接的逻辑 qubits 数量有限。实验发现，新算法能够高效地将给定的物理 qubit 用作逻辑 qubits。例如，在 12×12 单元的 Chimera 图拓扑结构中，使用 8 个逻辑 qubits 时，子范围算法可同时计算 48 个子范围的 QUBO 模型，充分展示了该算法在硬件资源利用上的优势。
3. CT 图像重建：研究人员以 30×30 的 Shepp - Logan 模型图像为样本进行 CT 图像重建实验。将快速傅里叶变换（FFT）作为基准方法，对比使用子范围算法的效果。结果显示，使用子范围算法时，随着每个像素所用 qubits 数量的增加，平均绝对误差（MAE）呈指数下降。当使用 5 个 qubits 时，MAE 值仅为 1.75，而 FFT 的 MAE 值为 31.20。在考虑多种误差和噪声的情况下，5 个 qubits 的子范围算法的 MAE 值显著小于 FFT 和 10 个 qubits 不使用子范围算法的情况，这表明子范围算法在 CT 图像重建中具有更高的准确性和抗干扰能力。

研究结论和讨论部分指出，新提出的子范围算法是一种利用少量 qubits 解决大规模问题的 QUBO 构建方法。在 CT 图像重建方面，它比现有方法具有更好的效果，能够降低 D-Wave 硬件的限制。通过划分变量取值范围，该算法提高了找到 D-Wave 求解器最小值的概率，为预测解的存在区域提供了可能。不过，该算法也存在一些不足之处，比如随着矩阵维度的增加，子范围的数量会呈指数增长，这可能导致计算量大幅增加。此外，研究人员还发现，在使用不同优化器时，量子退火（QA）在时间效率和准确性方面表现最佳。同时，研究人员也在探索将压缩感知算法应用于子范围算法的结果中，期望进一步减少每个像素所需的 qubits 数量，克服现有局限，实现更强大的优化效果。

总的来说，这项研究成果为量子计算中 QUBO 模型的构建提供了新的思路和方法，有望推动量子计算在各个领域的广泛应用，为解决实际问题带来新的曙光。未来，随着研究的不断深入和技术的持续发展，相信这一成果将在更多领域展现出其巨大的价值。