基于符号矩阵结构分析推导平面桁架解析解：创新突破与深远意义

传统有限元法（FEM）和矩阵结构分析法（MatSA）在结构分析中存在灵活性差、计算繁琐等局限。研究人员开展平面桁架的符号矩阵结构分析研究，开发出开源 MATLAB 程序。该程序能推导解析解，经多种方式验证准确可靠，对工程实践和教育意义重大。

　　在建筑与工程领域，结构分析是保障建筑安全、优化设计的关键环节。有限元法（FEM）作为结构分析的重要手段，自诞生以来已走过 80 年历程，为解决复杂工程问题立下汗马功劳。然而，它并非十全十美。传统 FEM 在面对材料属性、几何形状或外部荷载变化时，需重新计算，耗时耗力，且难以揭示关键参数间的内在联系。矩阵结构分析（MatSA）虽简化了部分流程，但同样依赖预设条件，适应性欠佳。这些问题限制了结构分析的效率与深度，也促使研究人员探寻更优解。

为攻克这些难题，卡塔尔大学工程学院和奥斯陆都市大学建筑环境系的研究人员展开了深入研究。他们聚焦平面桁架，运用符号计算技术，开发出一款开源的 MATLAB 程序，相关成果发表于《Heliyon》。

研究人员采用的关键技术方法主要有：借助 MATLAB 的 Symbolic Math Toolbox 进行符号计算，实现对结构的符号分析；通过定义一系列变量（如 NodeCoords、ElemMatSec 等）描述 2D 桁架结构，自动计算几何属性；利用 MATLAB 的内置函数进行符号微分，开展灵敏度分析；将符号结果与商业有限元软件（如 SAP2000、EngiLab Truss.2D Pro）及文献结果对比，验证程序准确性。

下面来看看具体的研究结果：

1. 刚度矩阵的推导：研究推导出 2D 桁架单元的符号刚度矩阵及全局刚度矩阵。在局部坐标系下，2D 桁架单元的符号刚度矩阵为[k^t2]=LEA?[1?1?11]，通过变换矩阵[Tt2]=[c0s00c0s]（其中c=cos(θ)=LΔx，s=sin(θ)=LΔy），可得到全局刚度矩阵[kt2]=[Tt2]T?[k^t2]?[Tt2]=LEA?c2cs?c2?cscss2?cs?s2?c2?csc2cs?cs?s2css2。这为后续分析奠定了基础。
2. 模型的符号定义：针对 2D 桁架复杂的几何结构，研究引入一组变量描述其构型。NodeCoords 矩阵定义节点坐标，ElemMatSec 向量表示单元刚度属性，ElemCon 矩阵指定单元连接关系，Supports 矩阵设置边界条件，PointLoads 矩阵定义节点荷载。这种方式可自动计算几何属性，适用于各种复杂桁架结构，且支持符号参数输入，便于开展参数化研究、灵敏度分析和设计优化。
3. 符号解的重要性及教育意义：符号解能保留参数间的代数关系，助力研究人员探究材料属性、几何形状或荷载变化对结构响应的影响。以 2D 桁架单元为例，位移公式Dx=AEPL清晰展示了位移与各参数的比例关系，这是纯数值解无法呈现的。同时，符号解有助于理解叠加原理和不同荷载的累积效应，还能通过直接求偏导数进行灵敏度分析和优化，提升学生对结构工程概念的理解，为结构设计提供有力支持。
4. 数值示例：研究给出五个不同复杂程度的数值示例。示例 1 为简单 2 杆桁架，有 3 个符号参数；示例 2 有 3 个节点、3 个元素和 4 个符号参数；示例 3 有 5 个节点、7 个元素和 4 个符号参数；示例 4 模型较大，含 12 个节点、21 个元素和 4 个符号参数；示例 5 取自文献，有 11 个节点、18 个元素和 4 个符号参数 。通过这些示例，展示了程序在不同情况下推导解析解的能力，包括节点位移、支撑反力和单元轴力等结果。
5. 结果验证：为确保程序准确性，研究采用三种方式验证。与 SAP2000 对比时，调整其剪切面积框架属性 modifier 以匹配 Euler - Bernoulli 梁理论假设，结果显示两者在节点位移、支撑反力和单元轴力上完美匹配；与 EngiLab Truss.2D Pro 对比，同样得到高度一致的结果；与文献中的解析解对比，如示例 5 中节点 6 的垂直位移公式，两者也完全吻合。这充分证明了程序结果的可靠性。
6. 灵敏度分析：符号解在灵敏度分析中优势显著。以示例 3 中节点 2 的垂直位移公式Dy=?4EAH2P(2HL2+2(4H2+L2)3/2+L3)为例，利用 MATLAB 的符号计算功能，可轻松计算出位移对轴向刚度（EA）、长度（L）和高度（H）的偏导数，清晰呈现结构响应随参数变化的敏感度。这种能力为设计优化提供了精确依据，避免了数值方法多次重新计算的繁琐过程。
7. 平衡复杂性与实用性：符号计算在处理复杂 2D 桁架系统时面临挑战，如计算时间长和表达式复杂。随着桁架结构复杂度增加，计算时间显著上升，且复杂的符号表达式会降低实用性。为此，研究提出混合符号 - 数值方法，让关键参数保持符号形式，对次要变量赋值，在保证分析灵活性的同时提高计算效率，使符号 MatSA 能更好地处理复杂系统。

综合来看，这项研究成果意义重大。开发的开源 MATLAB 程序为平面桁架结构分析提供了高效精确的工具，不仅能推导多种解析解，还可进行灵敏度分析，对工程实践中的结构设计、优化具有重要指导价值。在教育领域，其符号解有助于学生深入理解结构行为，增强对结构力学概念的掌握。尽管符号计算存在一定挑战，但通过合理的方法可有效应对。未来，将该方法拓展到 3D 桁架等其他结构系统，有望进一步推动结构工程领域的发展，为建筑与工程行业带来更多创新与突破。