分布式阶记忆与温度耦合驱动的捕食-食饵-恐惧系统的Hopf分岔分析

《Franklin Open》：Explainable AI for SMS Spam Filtering: A Novel Hybrid Architecture Combining Fuzzy Logic and Bidirectional LSTM Networks

本文针对全球变暖背景下捕食-食饵系统的复杂动力学行为，构建了一个包含恐惧效应和温度反馈的分布式阶分数阶微分方程模型。研究人员通过理论分析和数值模拟，揭示了温度升高如何通过改变种群参数（如r(T), K(T), β(T)等）影响系统的稳定性边界，并首次在分布式阶记忆框架下给出了Hopf分岔的解析条件。研究发现，记忆权重函数wz(α)的分布特征显著影响振荡行为的产生阈值和振幅，为预测气候变化下生态系统的临界转变提供了新的理论工具。该模型发表在《Franklin Open》，对理解生物多样性维持和生态系统韧性具有重要意义。

　　

随着全球气候变暖的加剧，生态系统面临着前所未有的压力。捕食者与猎物之间的相互作用是生态系统的核心动力学过程之一，其稳定性直接关系到生物多样性的维持。传统的Lotka-Volterra模型及其改进版本虽然能够描述种群振荡现象，但往往忽略了两个关键因素：一是生物体对捕食风险的行为响应（即“恐惧效应”），二是环境温度变化对种群参数的动态调制。更复杂的是，生态过程通常表现出记忆效应，即当前状态不仅依赖于瞬时条件，还受到历史状态的影响。这种记忆特性用整数阶微分方程难以准确刻画，而分数阶微积分因其对历史依赖性的天然描述能力，成为更合适的建模工具。

为了回答上述问题，研究人员在《Franklin Open》上发表了一项创新性研究，构建了一个耦合温度反馈、恐惧效应和分布式阶记忆的捕食-食饵模型。该模型不仅考虑了温度对种群内在增长率r(T)、环境容纳量K(T)、攻击率β(T)等关键参数的指数调制作用（形式为e^θ_•T），还引入了表征猎物警惕水平的恐惧变量F(t)。恐惧的动态由捕食者密度诱导，并受到猎物群体大小的阻尼。最具特色的是，模型对每个状态变量（猎物x、捕食者y、恐惧F）引入了分布式阶Caputo导数D_t^(w_z)，其核函数w_z(α)在阶数α∈[0,1]上积分归一化，从而能够灵活地描述从纯记忆（α=0）到纯瞬时（α=1）的各种记忆模式。

研究人员采用的主要技术方法包括：分布式阶Caputo导数的数值逼近算法（基于L1离散化方案和Gauss-Legendre积分）、非线性动力系统的线性稳定性分析、Hopf分岔理论在分数阶系统下的推广、以及参数连续性分析。通过将模型无量纲化，降低了参数空间的维度，便于系统性研究。

平衡点存在性与稳定性

研究首先分析了系统的平衡点。存在两种重要的平衡态：一是捕食者灭绝平衡点E_P，其存在条件为r^(T_P) > δ；二是共存平衡点E_*，需要求解一个关于恐惧水平F_*的标量方程Φ(F_*) = 0。通过线性化系统和分析特征方程Δ(λ) = 0，研究者给出了平衡点局部稳定性的判据。特别地，捕食者能否入侵E_P平衡点，取决于其基本再生数R_y(T_P) = ?(T_P)β^(T_P)x_P/d^(T_P)是否大于1。

Hopf分岔与振荡产生

本研究的核心贡献在于分析了分布式阶记忆下的Hopf分岔。当系统特征方程存在一对纯虚根λ = ±iω (ω > 0) 且满足横截条件时，系统会发生Hopf分岔，从稳定平衡点产生稳定的周期振荡。与整数阶系统（对应权重函数w_z(α) = δ(α - 1)）相比，分布式阶记忆显著改变了分岔发生的阈值。数值模拟表明，当记忆权重向低阶α（即更强的记忆效应）集中时，系统产生振荡所需的反馈强度（如恐惧抑制参数s_p）更高，分岔边界向外移动。这意味着记忆效应延迟了振荡行为的出现。

温度-入侵斜率

一个重要的量化指标是“增温-入侵斜率”dR_y/ds‘，它衡量了外部增温强迫s’对捕食者入侵潜力R_y的影响。在给定的参数集（θ_β= 0.06, θ_r= 0.04, θ_d= 0.02, θ_K= 0.01, θ_c= 0）下，计算得到该斜率约为0.032，表明在此场景下，轻微增温可能有利于捕食者的建立。

数值验证

研究者通过数值模拟验证了理论预测。时间序列图显示，在分岔阈值附近（s_p= 0.6），系统状态变量呈现衰减振荡，逐渐趋近于平衡点，这与线性稳定性分析结果一致。分岔图清晰地描绘了捕食者振荡振幅随恐惧抑制参数s_p的变化，对比了分布式阶系统与经典ODE模型的分岔边界，直观展示了记忆效应对动力学行为的调节作用。

综上所述，本研究通过引入分布式阶导数，成功构建了一个能够同时描述温度耦合、恐惧行为和记忆效应的捕食-食饵模型。研究结论表明：1）温度通过改变种群生理和相互作用参数，直接影响系统的平衡态和稳定性；2）恐惧行为作为 prey 的反捕食策略，能够调节种间相互作用强度，从而抑制或促进种群振荡；3）分布式阶记忆深刻地改变了系统的动态响应，特别是延迟了Hopf分岔的发生，并影响了振荡的幅度和频率。这项工作的重要意义在于，它提供了一个强大的理论框架，用于预测全球变暖背景下，具有行为适应性和历史依赖性的生态系统如何响应环境扰动，并可能发生临界转变。这对于生物多样性保护、生态系统管理和气候变化适应策略的制定具有重要的启示。