一种具有数学特性和理论基础的新概率模型：其在医疗保健和辐射科学中的应用

《Journal of Radiation Research and Applied Sciences》：A new probabilistic model with mathematical properties and theoretical foundation: Its applications in healthcare and radiation sciences

截断Cauchy-幂XLindley分布（TCPPXLD）是PXLD的扩展，引入截断Cauchy变换以增强对右偏、重尾数据的建模能力。通过理论推导与模拟研究，验证TCPPXLD在医疗/辐射数据中具有更优的拟合效果（AIC值最低，ASAE=0.0161），参数估计稳定（RMSE≤0.65），且在生存分析中显著优于16种竞争模型。研究还展示了TCPPXLD的统计特性（如分位数函数、矩生成函数）及在真实数据中的适用性。

　　
近年来，广义概率分布模型在应对现实数据中的复杂特性（如显著偏态和厚尾）方面展现出重要价值。这类模型通过引入灵活的变换函数或扩展参数，能够更精准地捕捉实际数据中的分布特征，尤其在医疗、工程和金融领域应用广泛。基于此背景，研究者提出了一种新型截断Cauchy功率XLindley分布（TCPPXLD），旨在通过整合Cauchy截断机制与功率变换技术，提升传统XLindley分布的适应性和建模精度。

### 研究背景与意义
传统概率分布模型在描述极端事件或非对称数据时存在局限性。例如，XLindley分布虽能通过幂函数调整尾部形态，但在处理截断数据或混合型分布时仍显不足。本研究通过引入Cauchy分布的截断特性，结合功率变换策略，构建了TCPPXLD模型。其核心优势在于：
1. **灵活性增强**：通过新增参数δ，模型可同时适应右偏、左偏及对称分布，且在尾部衰减速度上具有调节能力。
2. **适用场景扩展**：在生存分析、可靠性工程和风险建模中，该分布能有效捕捉早期事件集中分布与长期极端值并存的现象。
3. **统计性质完备**：涵盖偏度、峰度、矩生成函数、分位数函数等核心统计量，支持参数估计和假设检验的深入分析。

### 模型构建与特性
TCPPXLD模型基于两个基础分布的融合：
- **TCP-G分布**：通过调整Cauchy分布的偏度参数，可灵活适配不同数据形态。
- **PXLD分布**：采用幂函数变换扩展XLindley分布，增强对长尾数据的建模能力。

两者的结合通过截断机制实现，具体表现为：
- **概率密度函数（PDF）**：在原有PXLD的幂律衰减基础上，引入Cauchy分布的截断点，确保尾部不出现过度扩散或收缩。
- **生存函数（SF）**：结合指数衰减与Cauchy截断特性，精确描述事件随时间演变的概率。
- **累积分布函数（CDF）**：通过反正切函数与幂函数的复合形式，实现更平滑的分布转换，尤其在极端值区域表现更优。

### 统计分析与验证
研究通过理论推导与实证检验验证模型的有效性：
1. **理论性质**：
- **偏态与峰度**：模型可生成右偏、左偏及对称形态，峰度参数范围覆盖轻尾到重尾数据。
- **矩生成与特征函数**：通过级数展开和积分变换，证明模型具备完整的矩生成能力，支持理论推导与数值计算的结合。
- **分位数函数**：利用Lambert W函数求解逆问题，确保分位数计算的解析性与稳定性。

2. **参数估计**：
- 采用最大似然估计（MLE），通过BFGS优化算法求解参数，并在不同样本量下验证估计的稳定性。
- 模拟结果显示，随着样本量增大（n=30至360），参数估计的均方误差（MSE）和均方根误差（RMSE）显著降低，验证了MLE的渐近最优性。

3. **模型比较**：
- 对比16种经典分布（如Weibull Lindley、Power Exponentiated Lindley等），TCPPXLD在AIC（赤池信息准则）、CAIC（一致赤池信息准则）和ASAE（平均缩放绝对误差）指标上表现最优。
- 好ness-of-fit检验（Kolmogorov-Smirnov、Cramér–von Mises、Anderson–Darling）显示，TCPPXLD的拟合优度检验p值接近1，显著优于其他模型。

### 实际应用案例
研究选取两个真实数据集进行验证：
1. **头颈部癌症生存数据**（n=44）：
- 数据特征：右偏显著（偏度3.38），峰度高达16.56，尾部存在极端生存时间。
- 模型表现：TCPPXLD的AIC值（155.40）和ASAE（0.016）最优，CDF与 empirical CDF在尾部区域吻合度达99.89%。
- 可视化分析：PDF曲线与数据直方图在尾部高度重合，而传统分布如PXLD在极端值区域出现低估。

2. **癌症复发时间数据**（n=128）：
- 数据特征：方差达110.42，偏度3.29，峰度18.48，显示高度异质性。
- 模型表现：TCPPXLD的AIC值（824.40）和p值（K-S、W、A检验均>0.99）显著优于次优模型（如TCPZD的AIC=831.98）。
- 尾部拟合对比：传统模型如WPLD在最大值附近出现明显低估，而TCPPXLD的预测误差小于0.5%。

### 结论与展望
TCPPXLD模型通过截断机制与幂函数变换的结合，有效解决了传统分布建模中的尾部拟合不足和参数敏感性问题。研究证实，其在大样本（n≥120）下参数估计的RMSE可控制在0.5以内，且在医疗与放射学数据中展现出跨领域适用性。未来可拓展至其他领域（如环境科学中的极端气候数据），并探索参数约束条件下的稳健性分析。

### 创新点总结
1. **结构创新**：首次将Cauchy截断与XLindley分布结合，形成TCPPXLD，突破传统分布的参数限制。
2. **方法优化**：通过模拟研究验证MLE的稳定性，提出样本量自适应的参数选择策略。
3. **应用拓展**：在两个典型生物医学数据集中验证，证明模型在极端值建模中的普适性。

该研究为复杂非正态数据建模提供了新工具，尤其在需要同时处理偏态与厚尾特征的场景中具有显著优势。