均匀图兰密度等于8/27的超图

《Combinatorics, Probability and Computing》：Hypergraphs with uniform Turán density equal to 8/27

Turán问题研究中，均匀Turán密度被定义为超图H的极小值d，使得任意足够大的超图若其线性子超图密度不低于d，则必然包含H。研究聚焦K?^{(3)-}和K?^{(3)}的密度求解，前者已获解决，后者仍开放。作者通过构造新超图，新增了8/27的Turán密度值，并给出了满足该密度的超图特征。

　　

摘要

20世纪80年代，Erd?s和Sós开始研究具有边分布均匀性条件的Turán问题：超图$H$的均匀Turán密度是指对于所有$d$，只要存在足够大的超图，其所有线性大小的子超图的密度都至少为$d$，那么该超图的均匀Turán密度就是这些$d$的最小值。具体来说，他们试图确定$K_4^{(3)}$和$K_4^{(3)}$的均匀Turán密度。经过30多年的研究，前者已在[Israel J. Math. 211 (2016), 349 – 366]和[J. Eur. Math. Soc. 20 (2018), 1139 – 1159]中得到解决，而后者至今仍未解决。迄今为止，已知存在一些$3$-均匀的超图，其均匀Turán密度分别为$0$、$1/27$、$4/27$和$1/4$。我们在这个列表中增加了第五个值：我们证明了一个易于验证的充分条件，使得超图的均匀Turán密度可以等于$8/27$，并找到了满足这一条件的超图。

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