基于多应力状态描述的非关联流动法则下解析屈服函数研究

《Journal of Materials Research and Technology》：An analytical yield function under a non-associated flow rule based on description of multiple stress states

本研究针对金属材料在复杂应力状态下屈服强度、各向异性硬化及塑性流动行为难以精确描述的难题，提出了一种在非关联流动法则（Non-AFR）框架下的新型解析屈服函数及相应的塑性势函数。该函数能够解析描述多种关键应力状态（如EBT、EBC、UT、UC、PST、PSC、SS）下不同加载角度的屈服应力及r值，并通过引入额外参数提升预测精度、控制屈服/塑性势面曲率。研究对三种典型晶体结构材料（高强钢、铝合金、钛合金）的验证表明，新函数在预测屈服强度、应变硬化及r值方面均优于现有模型，展现了优异的灵活性、鲁棒性及凸性控制能力，为材料大塑性变形分析提供了更精确的本构模型。

　　

在工程实际中，从汽车车身到航空航天结构，大量轻质高强金属材料被广泛应用于各类承力部件。这些材料在经历轧制、锻造或挤压等加工工艺后，内部会形成复杂的织构，导致其力学性能呈现出显著的各向异性，即在不同方向上加载会表现出不同的强度和行为。更复杂的是，材料的塑性行为不仅受应力状态（如拉伸、压缩、剪切）的影响，还与加载速度、环境温度等因素密切相关。因此，开发能够精确描述金属材料屈服强度、应变硬化（即材料随塑性变形而强化的特性）和塑性流动（即塑性变形的方向）的本构模型，对于理解和预测金属材料的力学行为、进而进行工程结构的设计与制造至关重要。

传统的各向同性屈服模型，如著名的von Mises函数，形式简单但无法准确表征应力状态的影响和各向异性效应。随后发展的各向异性屈服函数，如Hill48系列以及基于Hosford函数和应力不变量的多种高级函数，虽然在一定程度上改善了预测能力，但仍存在局限。例如，一些函数难以同时精确预测材料在多应力状态（如等双拉、单拉、平面应变拉伸、纯剪切等）和多加载角度下的力学响应；另一些函数则无法有效描述材料在拉伸和压缩状态下表现出的不对称行为（即拉压不对称性）；此外，对屈服面形状（尤其是其曲率）的控制能力以及保证模型数学上的凸性（这对于数值计算的收敛性至关重要）也是挑战。尽管学者们已构建了许多先进的屈服函数，但这些缺点依然存在。现有函数通常只能提供少数几种应力状态下材料力学性能的解析描述，对于更多加载角度和应力状态的表征标准仍需拓展。

为了突破这些限制，一项发表在《Journal of Materials Research and Technology》上的研究提出了一种全新的解析各向异性屈服函数及其对应的塑性势函数，该工作是在非关联流动法则（Non-Associated Flow Rule, Non-AFR）的框架下完成的。非关联流动法则允许分别用屈服函数描述材料何时开始屈服（强度），用塑性势函数描述塑性应变增量的方向（流动），这比传统的关联流动法则（屈服函数同时用于判断屈服和确定流动方向）更具灵活性，能更准确地模拟复杂加载路径下的材料行为。

本研究旨在构建一个能够同时描述七种关键平面应力状态（包括等双拉EBT、等双压EBC、单拉UT、单压UC、平面应变拉伸PST、平面应变压缩PSC和简单剪切SS）下，沿三个典型加载方向（轧向RD、对角向DD、横向TD）的屈服强度和r值（塑性应变比，反映板材成形时的变薄倾向）的模型。该函数的核心思想是将屈服函数表示为7个与特定应力状态和加载角度对应的应力函数的加权和，从而能够直接代入从试验中获得的应力-应变曲线，方便地描述材料屈服面的畸变硬化。通过引入额外的形状控制参数，该模型还能进一步调整屈服面在特定应力平面（如σ_xx-σ_yy平面和σ_xx-√3τ_xy平面）的投影曲率，并在整个应力空间内控制屈服面的整体形状，同时通过严格的凸性分析确保模型的数学合理性。

相应地，研究人员也构建了新的塑性势函数来描述塑性流动方向。该函数采用了分段加权形式，能够同时预测材料在不同加载角度下单拉和单压的r值，并可通过加权指数n进一步调整塑性势面在拉压不对称区域的凸性。为了将基于平面应力状态构建的函数扩展到三维应力状态，研究还给出了应力分量的扩展形式。

关键技术方法概述

本研究的关键技术方法主要包括：1. 基于多应力状态（七种）和多加载角度（三种）的试验数据，构建了新型解析屈服函数和塑性势函数的数学表达式。2. 进行了参数敏感性分析和凸性分析，确保函数的合理性和数值稳定性，其中凸性分析采用了Hessian矩阵主行列式判据和几何启发式数值凸性分析（GINCA）方法。3. 利用四种不同晶体结构的金属材料（BCC结构的高强钢QP1180、FCC结构的铝合金AA5754-O、HCP结构的商业纯钛CP-Ti和钛合金Ti-6Al-4V）的试验数据（包括屈服应力、r值等）对新建模型进行验证，并与Hou2022、Chen2022、Zhou2023等几种现有的非关联流动法则下的解析模型进行对比。4. 基于应力不变量和应力状态参数（如应力三轴度、Lode参数）对屈服函数进行了进一步扩展，以增强其描述更复杂应力状态的能力。

研究结果

2.1 屈服应力函数

新建的屈服函数被表达为7个应力函数的和，每个函数对应一个特定的应力状态和加载方向组合。通过参数敏感性分析发现，函数中的参数能够有效地控制屈服轨迹在相应区域的形状，参数增大时屈服轨迹向外扩张。分析表明，新函数能够精确描述材料在七个关键应力状态下的屈服应力，而作为对比的其他几种函数在预测某些应力状态（如PST）时存在明显偏差。对QP1180钢的预测结果显示，新函数的预测结果与试验数据吻合最好，最大相对误差和平均相对误差均远低于其他对比函数。

2.2 塑性势函数

新建的塑性势函数采用加权形式，能够分别用拉伸和压缩相关的函数部分来描述材料在拉、压应力状态下不同的塑性流动行为。对于QP1180钢，当仅有RD、DD、TD三个方向的试验数据时，函数可退化为经典的Hill48-R形式。当有其他加载角度的数据时，可通过引入额外参数进行校准，从而更精确地预测r值随加载角度的变化。对AA5754-O铝合金的预测表明，新函数在预测单拉和单压r值方面优于对比模型，并且通过调整加权指数n可以控制塑性势面的形状，但需注意凸性条件。

3.1 参数分析

通过分析形状控制参数对屈服轨迹的影响，研究发现不同参数对屈服面在不同区域（如EBT~PST段和PST~UT段）的形状影响趋势相反甚至互补。例如，参数a₁增大使EBT~PST段屈服轨迹收缩而PST~UT段扩张，而参数a₂, a₃的影响则相反。参数a_η由于与Lode参数的偶次幂相关，其影响相对有限。这些参数为灵活调整屈服面以匹配更多未用于校准的应力状态数据提供了可能。

3.2 凸性分析

研究采用计算Hessian矩阵各阶主行列式的方法对屈服函数进行凸性分析。对于塑性势函数，由于涉及分段函数，采用了GINCA方法进行凸性判断。分析结果表明，在合理的参数范围内，新构建的屈服面和塑性势面均能满足凸性要求，这对于后续有限元模拟的收敛性至关重要。

4.1 BCC结构验证（QP1180高强钢）

应用新函数和几种对比函数（Hou2022, Chen2022, Zhou2023）对QP1180钢的屈服行为进行预测。结果显示，新函数能够同时准确预测EBT、UT、UC、PST、SS等多种应力状态的屈服应力，而对比函数在PST和SS等应力状态的预测上存在显著误差。在三个不同塑性水平（用塑性乘子λ表示）下，新函数的预测轨迹均与试验点吻合良好，证明了其描述材料畸变硬化行为的有效性。

4.2 FCC结构验证（AA5754-O铝合金）

对AA5754-O铝合金的验证进一步证实了新函数的优越性。新函数能够精确描述该材料在UT、UC、PST等多种应力状态和多个加载角度下的屈服应力，预测误差远小于其他函数。对塑性势函数的验证也表明，新函数能更准确地预测r值随加载角度的复杂变化趋势。三维塑性势面的显示和凸性检查确认了模型的合理性。

4.3 HCP结构验证（CP-Ti和Ti-6Al-4V）

HCP结构金属（如钛及其合金）通常表现出更强的各向异性和拉压不对称性。对商业纯钛（CP-Ti）和Ti-6Al-4V合金的验证表明，新函数同样适用。对于CP-Ti，新函数在UT、UC、PST应力状态下的预测平均相对误差和最大相对误差均极低（分别为0.053%和0.315%），显著优于对比函数。对于Ti-6Al-4V，新函数也展现了出色的预测精度。凸性分析再次确认了用于这两种材料的参数集能保证屈服面的凸性。

研究结论与意义

本研究成功构建了一套在非关联流动法则框架下的新型解析各向异性屈服函数和塑性势函数。该模型的核心优势在于能够直接基于多应力状态（七种）和多加载角度（三种）的试验数据，解析描述材料的屈服强度和塑性流动行为，避免了复杂的插值计算，并为控制屈服面和塑性势面的整体形状提供了灵活的参数化方法。通过系统验证（涵盖BCC、FCC、HCP三种典型晶体结构的四种金属材料），结果表明新模型在预测屈服应力、应变硬化和r值方面，较现有的几种先进解析模型具有更高的精度和更好的鲁棒性。严格的凸性分析确保了模型在数值应用中的稳定性。

该研究的重要意义在于为精确模拟各向异性金属材料在复杂加载路径下（如材料成形、结构碰撞等涉及大塑性变形的场景）的力学响应提供了更可靠的本构模型工具。通过更准确地描述材料的实际屈服和流动行为，该模型有助于提高工程构件成形工艺模拟和结构性能预测的准确性，对轻量化设计、安全性评估等领域具有重要价值。此外，研究中提出的函数扩展方法和凸性分析策略也为后续开发更先进的本构模型提供了有益参考。未来工作可探索模型的简化形式，或结合机器学习方法辅助参数确定，以进一步提升其工程适用性。