有限体积球商及其环面紧化上余切丛对称幂的L2-上同调同构研究

《Nagoya Mathematical Journal》：COHOMOLOGY ISOMORPHISM OF SYMMETRIC POWER OF COTANGENT BUNDLE OF BALL QUOTIENT AND ITS TOROIDAL COMPACTIFICATION

本文聚焦于解决非紧复流形上向量丛的L2-Dolbeault上同调群的有限维性问题。研究人员针对具有有限体积的复双曲空间形式（即球商）及其环面紧化，系统研究了其对称幂余切丛的L2-上同调。通过应用完备Hermitian流形上的Hodge理论，证明了在特定参数范围内，这些上同调群是有限维的，并建立了与紧化流形上某些向量丛上同调的同构关系。该结果深化了对非紧流形上分析不变量与拓扑不变量之间联系的理解，为相关领域的进一步研究提供了重要工具。

　　

在复几何与多复变函数论中，理解流形的整体不变量是核心课题之一。对于紧致的Kahler流形，经典的Hodge理论告诉我们，其上同调群具有优美的分解结构，并且是有限维的。然而，当流形是非紧的时候，情况变得复杂而有趣。特别是，对于在自守函数论和算术几何中扮演重要角色的“复双曲空间形式”——即单位球在某个离散群作用下的商空间（球商）——其上的分析学性质引起了广泛关注。这类流形通常具有有限的体积，但可能带有“尖点”（Cusps），使得流形非紧。一个自然的问题是：在这些非紧的流形上，定义在向量丛（如余切丛的对称幂）上的平方可积微分形式的上同调群（L²-Dolbeault上同调）是否仍然是有限维的？这个问题的答案不仅关系到流形本身的几何性质，也与其紧化（Compactification）后的拓扑性质紧密相连。

早在1983年，Donnelly和Fefferman的开创性工作就揭示了非紧流形上L²-调和形式的维数可以出现从零维到无穷维的各种情况，例如在严格伪凸域上，当形式次数之和等于流形维数时，相应的空间是无穷维的。这表明非紧情形下的上同调理论远比紧致情形丰富和复杂。为了理解球商这类具有有限体积的特殊非紧流形上的上同调性质，韩国庆北国立大学的Seungjae Lee和Aeryeong Seo在《Nagoya Mathematical Journal》上发表了他们的研究成果。他们系统地研究了有限体积球商Σ = Bⁿ/Γ（其中Bⁿ是n维复单位球，Γ是Aut(Bⁿ)的无挠格，且只有单抛物的自同构）及其光滑环面紧化（Toroidal Compactification）ˉΣ 上，对称幂余切丛S^mT^*_Σ的L²-Dolbeault上同调。

他们的主要发现是，在很大范围的参数（m, r, s）下，L²-上同调群H^r,s_L²,ˉ?(Σ, S^mT^*_Σ)确实是有限维的。更引人注目的是，他们证明了当s=0，或者当m ≥ n+1-r且s>0时，存在ˉΣ上的一个全纯向量丛E_r,m，使得球商上的L²-上同调同构于紧流形ˉΣ上该向量丛的通常层上同调：H^r,s_L²,ˉ?(Σ, S^mT^*_Σ) ? H^s(ˉΣ, E_r,m)。这个同构将非紧流形上的分析对象与紧流形上的代数几何对象联系起来，具有深远的意义。对于较小的m值，他们通过建立一种Donnelly-Fefferman型的估计，同样证明了特定范围内上同调群的有限维性。基于这些有限维性结果，他们进一步应用完备Hermitian流形上的Hodge理论，在相应的参数范围内建立了Hodge分解和Green算子的存在性。

为了开展这项研究，作者们运用了几个关键的技术方法。首先是详细描述了有限体积球商的光滑环面紧化的几何结构，特别是在尖点附近的局部模型（Siegel域G及其商）和诱导的Kahler度量（ω_Ωb^(N)）的精确表达式与渐近行为分析。其次，核心工具是L²-估计方法，包括运用Hormander的L²理论来求解ˉ?-方程，以证明在环面紧化边界附近层序列的正合性，从而建立L²-Dolbeault分解。此外，他们还通过计算向量丛（如Λ^rT^*_Σ和S^mT^*_Σ）的曲率，并构造合适的权函数（ψ = -tη），建立了关键的Donnelly-Fefferman型不等式，用以证明上同调群的有限维性。

§1. 引言

研究的主要成果是定理1.1、1.3和1.4。定理1.1建立了在s=0或m足够大（m ≥ n+1-r）且s>0的条件下，非紧球商Σ上的L²-Dolbeault上同调与其环面紧化ˉΣ上某个构造出的全纯向量丛E_r,m的层上同调之间的同构关系。推论1.2直接由此推出在这些条件下，L²-上同调是有限维的。定理1.3则处理了较小的m值情况，通过精细的估计，给出了保证上同调有限维的m的具体上界，该上界依赖于维数n、上同调次数r和s。定理1.4综合了有限维性结果，指出在定理1.1或1.3的条件满足时，ˉ?算子及其Hilbert伴随ˉ?^*具有闭值域，并且相应的L²-空间有正交分解，L²-上同调同构于L²-调和形式空间，同时存在有界的Green算子。这些结果共同构成了对球商上对称微分形式L²-理论的一个相当完整的描述。

§2. 预备知识

这一部分为证明主要定理提供了必要的几何和分析背景。2.1节回顾了有限体积球商Σ的环面紧化ˉΣ的构造。关键点在于，每个尖点b对应一个边界除子（Divisor）D_b，并且在D_b附近，ˉΣ局部模型是一个圆盘丛（由(2.1)和(2.2)定义的映射Ψ和度量μ描述）。紧化流形上的Kahler度量ω在边界附近具有(2.3)式给出的明确势函数ρ(w) = -log(-log‖w‖)，并且该势函数的微分范数为常数1（(2.4)式），这是一个非常重要的性质。2.2节的引理2.1证明了在边界除子附近的邻域内，由Bⁿ的Bergman度量诱导的度量ω_Ωb^(N)与一个显式度量~ω_Ωb^(N)是拟等距的（Quasi-isometric）。这个显式度量在对角形式下，其系数清晰地展示了度量在趋于边界时的奇异行为，这为后续的L²积分估计提供了便利。2.3和2.4节则介绍了L²-Dolbeault上同调的基本定义以及相关的层L^r,*_2,F的概念，并指出由于Σ上度量的完备性，这些层是优层（Fine Sheaves），这意味着它们的更高阶层上同调消失（(2.5)式），这对于利用层论方法证明上同调同构至关重要。

§3. 定理1.1的证明

本节的核心是证明主要的同构定理。证明策略是构造一个L²-Dolbeault分解（Resolution）来模拟紧流形上的Dolbeault定理。作者首先在引理3.1中证明了层序列0 → O(E_r,m) → L^r,0_2,Fˉ?→ L^r,1_2,F在ˉΣ上是正合的。这里的向量丛E_r,m在流形内部与Λ^rT^*_Σ?S^mT^*_Σ一致，在边界除子D_j的邻域Ω_j^(N)内则是一个更复杂的构造，其定义考虑了形式在边界附近可能具有的极点阶数限制，以确保其L²-可积性。证明的关键步骤是在局部坐标下，通过将全纯截面的L²-可积条件转化为对其Laurent展开系数的约束，从而精确地确定哪些截面属于L²空间，并验证它们恰好对应于O(E_r,m)的截面。

命题3.2则是一个L²版本的Dolbeault-Grothendieck引理。它断言，当m ≥ n+1-r时，对于所有?，序列0 → kerˉ?_(r,?),F→ L^r,?_2,Fˉ?→ kerˉ?_(r,?+1),F→ 0是正合的。这个命题的证明利用了Hormander的L²估计。作者通过将问题转化为某个线丛（记为L_IJ）上的ˉ?-方程求解问题，并仔细计算该线丛的曲率，证明在给定条件下曲率是足够正定的，从而保证ˉ?-算子的像闭且上同调消失。

结合引理3.1和命题3.2，作者得到了一个关于层O(E_r,m)的由L^r,*_2,F构成的正合分解（即一个分解）。由于L^r,*_2,F是优层，其高阶上同调为零。因此，层O(E_r,m)的上同调可以通过这个分解的全局截面复形来计算，而这个复形恰好就是L²-Dolbeault复形，这就证明了所期望的同构H^r,s_L²,ˉ?(Σ, S^mT^*_Σ) ? H^s(ˉΣ, E_r,m)。

§4. 定理1.3的证明

本节致力于证明对于较小m值，上同调有限维的定理1.3。其核心是建立命题4.2中的Donnelly-Fefferman型估计（即不等式(4.7)）。这种估计表明，一个形式τ的L²-范数可以被其ˉ?-导数、其ˉ?^*-共轭导数以及其在某个紧集K上的L²-范数所控制。这种估计是证明上同调有限维性的标准工具。

为了建立这个估计，作者引入了权函数ψ = -tη，其中η是一个在尖点附近行为类似于-2log(-log‖w‖)的函数。然后，他们考虑了带权度量h^Fe^-ψ的ˉ?-算子的基本估计。估计式的左边涉及带权内积下的ˉ?和ˉ?^*的范数平方和，右边则涉及向量丛F的曲率Θ(F)加上√-1?ˉ?ψ与缩并算子Λ_ω的交换子作用在τ上的内积。作者在引理4.1中计算了作用于Λ^rT^*_Σ?S^mT^*_Σ值形式上的这个交换子有一个下界，即 -m_n,r|τ|²，其中m_n,r是一个依赖于n, m, r的常数。另一方面，由权函数ψ产生的项√-1?ˉ?ψ在尖点区域（Σ\K）能提供一个正的贡献，其系数与(n-s)t成正比。通过巧妙选择参数t和d，并利用度量的性质，作者最终证明，当m满足定理1.3中的不等式（即(4.6)式）时，可以使得估计式(4.7)成立。这个估计式结合泛函分析中的标准结果（如[13, Proposition 1.2]）即意味着上同调群的有限维性。

此外，在本节末尾的命题4.3中，作者还独立地证明了球商上典则线丛K^m_Σ的L²-上同调在m≥1时总是有限维的（实际上对于m≥2是零），而对于平凡线丛（m=0），当形式次数r+s不等于流形维数n时，上同调也是有限维的。这个结果进一步丰富了他们对球商上向量丛L²-理论的认识。

综上所述，Lee和Seo的这项研究对有限体积复双曲空间形式及其紧化上的向量丛L²-上同调理论做出了重要贡献。他们不仅在许多情况下证明了这些上同调群的有限维性，更重要的是，建立了非紧流形上的L²-上同调与其紧化流形上经典层上同调之间的同构关系。这种联系使得人们可以利用紧流形上成熟的工具（如代数几何方法）来研究非紧流形上的分析问题。他们所发展的技术，特别是对边界附近几何的精细分析、L²-估计的应用以及Donnelly-Fefferman型不等式的建立，对于处理具有类似边界行为的非紧Kahler流形上的相关问题具有普遍的指导意义。这项研究成果发表于《Nagoya Mathematical Journal》，为复几何、自守形式论以及非紧流形上的分析学等多个领域的交叉研究提供了新的视角和有力的工具。