Minkowski空间中类空曲面上零Bertrand D-曲线对的几何特性研究

《Frontiers in Physics》：Null Bertrand partner D-curves on spacelike surfaces

本文研究了Minkowski空间(E13)中类空曲面上零曲线的Bertrand D-曲线对性质。通过引入Darboux标架和几何不变量（如测地曲率kg、法曲率kn和测地挠率τg），作者建立了零Bertrand D-曲线对的充要条件，证明其测地挠率必须为非零常数（τg=1/λ），且法曲率满足kn12=kn22(ds2/ds1)4。文中还通过具体曲面构造示例验证了理论结果。

　　

在Minkowski空间E₁³的几何研究中，类空曲面上的曲线性质一直是重要课题。本文聚焦于一类特殊的曲线对——零Bertrand D-曲线对，通过Darboux标架理论深入探讨了其几何特性。

零Bertrand partner D-曲线的定义与性质

研究首先给出了零Bertrand D-曲线对的精确定义：设S₁和S₂为E₁³中的定向类空曲面，α₁(s₁)和α₂(s₂)分别为其上的单位速度零曲线。若存在对应关系使得两曲线在对应点处的Darboux标架元素U₁与U₂重合，则称(α₁, α₂)构成零Bertrand D-曲线对。

关键定理与证明

定理1确立了零Bertrand D-曲线对的充要条件：两曲线的法曲率满足k_n2²(ds₂/ds₁)⁴= k_n1²。证明过程通过构造曲线关系α₂(s₂) = α₁(s₁) + λU₁(s₁)（λ为非零常数），并利用Darboux公式进行微分运算，最终导出这一核心关系。

研究还发现，零Bertrand D-曲线对的对应点间距离为常数（λ=1/τ_g1），且测地挠率必须满足τ_g1= -τ_g2= 1/λ。特别值得注意的是，零Bertrand D-曲线不可能是主曲线（即τ_g≠0），这一结论通过反证法得以验证。

示例验证与曲面构造

为验证理论结果，论文提供了两个具体示例。示例1以零曲线α₁(s)=(sinh s, cosh s, s)为起点，通过系统方法构造出包含该曲线的类空曲面S₁(s,v)，其参数表达式为：

A₁(s,v) = sinh s(1+sin(sv)) - (1/2)sinh v cosh s

B₁(s,v) = cosh s(1+sin(sv)) - (1/2)sinh s sinh v

C₁(s,v) = s + (1/2)sinh v

进而推导出其Bertrand partner D-曲线α₂(s)=(-sinh s, -cosh s, s)及对应曲面S₂(s,v)。示例2则针对零曲线α₃(s)=(s, sin s, cos s)进行了类似构造，得到α₄(s)=(s, -sin s, -cos s)作为其Bertrand partner。

这些示例不仅验证了理论结果的正确性，还展示了零Bertrand D-曲线对在具体曲面上的几何表现。通过Darboux标架分析，研究发现两曲线在对应点处的法曲率关系严格符合定理1的预测，且测地挠率呈现对称性特征。

几何意义与推广价值

本研究建立的零Bertrand D-曲线对理论，丰富了Minkowski空间中曲线论的内容，为研究类空曲面上的特殊曲线提供了新视角。定理中揭示的法曲率与参数变换间的四次方关系，以及测地挠率的常数特性，都具有深刻的几何内涵。这些成果可能在相对论物理、计算机图形学等需要处理伪黎曼几何的领域找到应用价值。

未来工作可进一步探讨零Bertrand D-曲线对与曲面平均曲率、高斯曲率等内在几何量的关系，以及在高维Minkowski空间中的推广可能性。