基于Caputo分数阶导数的结核病传播模型：利用肯尼亚真实数据的动力学分析与控制策略

《Scientific Reports》：A fractional model based on caputo derivative for tuberculosis transmission using real data from Kenya

本研究针对结核病(TB)这一全球重大传染病，构建了基于Caputo分数阶导数的传播动力学模型。研究人员通过引入分数阶微积分理论，成功捕捉了疾病传播过程中的记忆效应和非局部特性，利用肯尼亚2000-2022年的真实数据进行了参数估计和模型验证。研究结果表明，分数阶模型(最优阶数α=0.85)相比整数阶模型能更准确地拟合实际数据(RMSE降低72.31%)，并通过敏感性分析发现疫苗效能(ω)和传播率(β)是影响基本再生数R0的关键参数。该研究为结核病防控策略的制定提供了新的数学工具和理论依据。

　　

结核病(Tuberculosis, TB)作为由结核分枝杆菌(Mycobacterium tuberculosis)引起的慢性传染病，至今仍是全球范围内最严重的公共卫生挑战之一。这种主要通过空气传播的疾病特别容易在免疫系统较弱的人群中传播，在医疗资源有限的低收入和中等收入地区尤为猖獗。根据世界卫生组织2021年的数据，单个未经治疗的活动性结核病例每年可感染5-15人，这种强大的传播能力使得结核病的有效控制变得异常复杂。

传统的整数阶微分方程模型在描述结核病传播动力学时存在明显局限，无法充分捕捉疾病潜伏期长、记忆效应显著等特点。结核杆菌感染后可能长期潜伏在人体内，数年后才发展为活动性结核，这种"记忆"特性使得经典数学模型往往难以准确预测疾病的实际传播趋势。此外，疫苗保护效果的衰减、复发感染的可能性等复杂因素进一步增加了建模的难度。

正是在这样的背景下，Bhamini Bhatia等研究人员在《Scientific Reports》上发表了题为"A fractional model based on Caputo derivative for tuberculosis transmission using real data from Kenya"的研究论文。该研究创新性地将Caputo分数阶导数引入结核病传播模型，利用肯尼亚的真实流行病学数据，建立了能够更好反映疾病实际传播规律的数学模型。

研究人员采用的关键技术方法包括：首先建立了包含易感者(S)、接种者(V)、暴露者(E)、感染者(I)、治疗者(T)和康复者(R)六舱室的SEVIRTM分数阶模型；其次运用最小二乘法和MATLAB的lsqcurvefit函数对模型参数进行估计，特别优化了传播率(β)、疫苗接种率(τ)等关键参数；然后通过下一代矩阵法计算基本再生数R₀并进行敏感性分析；最后采用Adams-Bashforth预测校正算法进行数值模拟，确保了分数阶微分方程求解的准确性和稳定性。研究使用的结核病发病率数据来自世界银行2000-2022年肯尼亚的公开数据集。

模型构建与理论基础

研究团队在传统整数阶结核病传播模型的基础上，引入了Caputo分数阶导数，建立了更为一般的分数阶模型。该模型考虑了BCG疫苗的部分保护作用及其随时间衰减的特性，同时纳入了康复者可能再次感染的实际情况。通过定义适当的分数阶微分算子，研究人员确保了模型解的存在性、唯一性和非负性等数学性质。

定性分析与平衡点稳定性

研究证明了模型解的正性和有界性，确定了疾病无病平衡点(DFE)的存在条件。通过线性化方法和Routh-Hurwitz准则，研究人员分析了DFE的局部渐近稳定性，发现当R₀<1时，系统会自然趋向于无病状态；而当R₀>1时，疾病将在人群中持续传播。

参数估计与模型验证

通过拟合肯尼亚的实际结核病数据，研究团队发现分数阶模型(α=0.85)的均方根误差(RMSE)为0.020042，显著低于整数阶模型的0.072408，改进幅度达72.31%。这一结果充分证明了分数阶模型在描述结核病传播动力学方面的优越性。

敏感性分析与控制策略

敏感性分析显示，疫苗效能(ω)对R₀的影响最为显著(敏感度指数-3.3074)，其次是传播率(β)和招募率(λ)。这表明提高疫苗保护效果是控制结核病传播的最有效策略。同时，研究还发现降低疾病进展率(κ)和增加治疗 initiation率(ρ, ν)也能有效抑制疾病传播。

数值模拟与动力学行为

通过数值模拟，研究人员观察了不同分数阶数α下各舱室人口的动态变化。结果显示，随着α值的减小(记忆效应增强)，系统的收敛速度变慢，峰值降低，这反映了分数阶模型能够更好地捕捉结核病传播的长期记忆特性。易感人群呈现快速下降趋势，而接种者和治疗者数量先增后稳，暴露者和感染者则表现为先快速达到峰值后逐渐下降的动态特征。

可视化分析与参数影响

研究还通过3D网格图和等高线图直观展示了R₀随不同参数变化的规律。这些可视化结果明确显示，在记忆效应较强(α较小)的情况下，系统对参数变化的响应更为平缓，这表明分数阶模型能够提供更加稳健的预测结果。

研究结论与讨论部分强调，基于Caputo导数的分数阶结核病传播模型相比传统整数阶模型具有明显优势，能够更准确地反映疾病传播的实际动态。模型成功捕捉了结核病传播过程中的记忆效应和非局部特性，为理解疾病传播机制提供了新的视角。通过敏感性分析确定的關鍵参数为制定有效的结核病控制策略提供了科学依据，特别是提高疫苗效能和降低传播率应作为优先干预措施。

该研究的创新之处在于将先进的分数阶微积分理论与实际流行病学数据相结合，既丰富了传染病建模的理论方法，又为公共卫生决策提供了实用工具。研究人员指出，未来工作可以进一步探索模型的随机扩展或分形-分数阶版本，以更好地描述现实世界中结核病传播的复杂动态。此外，引入最优控制理论来评估不同干预措施的成本效益，将是另一个有价值的研究方向。

这项由印度Malaviya国立技术学院、Rajasthan技术大学等机构合作完成的研究，不仅展示了数学建模在传染病防控中的重要作用，也为其他传染病的类似研究提供了可借鉴的方法论框架。随着分数阶微积分理论的不断发展和计算技术的进步，这类高级数学模型有望在未来的疾病预测和控制中发挥越来越重要的作用。