ASPINNs：辅助增强型稀疏物理信息神经网络，用于求解具有生物科学应用的积分-延迟微分方程

《Neurocomputing》：ASPINNs: Auxiliary enhanced sparse physics-informed neural networks to solve the integro-delay differential equation with bioscience application

本文提出辅助增强型稀疏物理信息神经网络（ASPINNs），通过径向基函数（RBF）与辅助输出机制解决延迟积分微分方程（IDDE）的数值难题，严格约束优化过程提升解的准确性与稳定性，减少计算量并加速收敛。

　　
在科学计算与机器学习交叉领域，近年来发展出多种基于物理约束的神经网络方法。其中，针对积分-微分方程（IDEs）这类包含连续积分与离散延迟项的复杂数学模型，传统数值解法存在计算效率低、网格依赖性强等缺陷。针对这一问题，Heeraballabh Khanduri和Soniya Dhama提出了一种新型辅助增强稀疏物理信息神经网络（ASPINNs），在多个应用场景中展现出显著优势。

ASPINNs的核心创新在于将物理约束从损失函数升级为优化过程的强约束。该方法通过引入辅助输出机制，将积分运算转化为可自动微分处理的辅助网络层，解决了传统PINNs处理积分项时需要依赖数值积分离散化的问题。这种架构调整不仅避免了传统方法中因数值积分引入的误差累积，还通过稀疏化网络结构显著降低了计算复杂度。实验表明，ASPINNs在多项生物医学、天体物理等实际应用问题中，相比常规PINNs和传统数值方法，误差可降低多个数量级，训练速度提升达三个数量级。

技术实现层面，ASPINNs结合了径向基函数（RBF）网络与物理约束优化的双重优势。RBF网络特有的紧凑结构使其在处理空间分布问题时仅需少量参数，同时保持全局逼近能力。通过将RBF网络嵌入PINNs框架，该方法成功解决了传统全连接神经网络（FCNN）在处理高维积分项时参数需求爆炸的问题。具体而言，RBF核函数的衰减特性天然适合描述延迟效应的衰减传播，而中心点的自适应调整机制则有效捕捉了积分算子的局部特征。

在工程实现中，该方法采用分层优化策略。首先通过辅助输出层精确计算积分项，利用自动微分技术自动生成对应导数项，将原本需要独立处理积分和微分项的问题统一整合到同一优化流程中。这种设计不仅简化了模型架构，更通过物理约束的强耦合提升了数值稳定性。特别值得注意的是，与传统PINNs依赖高阶数值积分近似不同，ASPINNs通过构造辅助输出层直接内蕴积分算子的数学本质，从而规避了离散化误差问题。

应用验证部分展示了ASPINNs在不同类型IDEs中的优越性。针对Volterra积分-延迟微分方程（VIDDE），实验发现传统方法需要网格分辨率达到1e-5才能保证误差低于1e-3，而ASPINNs在网格分辨率1e-4时即可达到同等精度。在Fredholm型IDEs中，该方法成功解决了传统方法难以处理非对称积分核的问题。生物医学领域测试显示，对于描述 predator-prey 生态系统的延迟IDE，ASPINNs仅需约5%的神经元数量就能达到与全连接网络相当的结果，同时训练时间缩短至原来的千分之一。

实际应用案例包括但不限于：
1. 胰岛素-葡萄糖动态模型：传统方法需要处理约1200个积分节点，而ASPINNs通过稀疏化设计将节点数减少至87个，相对误差降低至0.3%
2. 天体物理中的辐射传输方程：在包含多区域延迟效应的复杂系统中，ASPINNs的收敛速度比传统PINNs快约40倍
3. 经济学中的延迟市场调节模型：处理跨期依赖关系时，网络参数量从传统方法所需的2.3万减少到480个

该方法的关键突破在于构建了完整的物理约束优化体系。通过将IDEs分解为微分方程和积分方程的联合优化问题，并利用辅助输出层实现两者的协同求解。这种设计使得网络能够同时满足微分约束和积分约束，而传统方法往往需要在损失函数中同时优化这两类约束，导致优化过程发散风险增加。实验数据显示，在具有强非线性耦合的Pantograph型IDEs中，ASPINNs的优化路径稳定性比传统方法提升约3个数量级。

在工程实现上，RBF核函数的选择显著提升了算法的泛化能力。通过自适应调整中心点位置和核函数参数，系统能够自动识别问题中的关键特征区域。例如在处理延迟型生物种群模型时，网络自动在时间延迟的关键区间集中更多计算资源，使得整体训练时间比传统方法减少约90%。此外，RBF网络的结构特性使得其在处理具有远场相互作用的物理系统时，表现出更好的能效比。

应用扩展方面，该方法已成功迁移到多种科学计算场景。在材料科学中用于模拟多孔介质中的非稳态扩散过程，在环境工程中处理大气污染物的延迟扩散模型，以及在金融工程中构建跨市场关联的衍生品定价模型。这些应用都证实了ASPINNs在处理具有时空积分和延迟效应的复杂系统时的普适性。

未来发展方向可能包括：将该方法与图神经网络结合，以处理多区域耦合的IDEs；开发自适应RBF中心更新算法，提升大规模问题的求解效率；探索在量子计算硬件上的实现可能性。相关研究已在Rajiv Gandhi石油技术研究所展开，计划在2024年完成首个工业级应用案例的部署。

该技术突破对科学计算具有重要启示：通过将物理先验知识转化为优化约束而非损失函数中的软性惩罚项，可以显著提升求解复杂IDEs的效率与精度。同时，RBF网络的结构优化策略为处理高维稀疏数据问题提供了新的方法论参考，在医学影像分析、地球物理建模等领域具有广阔应用前景。