非线性时间分数阶Fornberg-Whitham方程的解析解研究

《Franklin Open》：A comprehensive study on dynamical analysis and numerical simulation of foam drainage equation using time-fractional derivative

本文针对非线性时间分数阶Fornberg-Whitham方程，提出了一种改进的Adomian近似方法。研究人员通过引入辅助参数和分数阶微积分理论，构建了有效的解析求解框架，获得了高精度的级数解。该方法成功应用于多个典型算例，验证了其收敛性和有效性，为分数阶偏微分方程的解析研究提供了新思路。

　　

非线性现象在自然界中广泛存在，从流体力学到量子物理，从生物系统到金融工程，非线性偏微分方程都扮演着重要角色。特别是分数阶微积分的发展，为描述具有记忆性和遗传特性的复杂系统提供了更精确的数学工具。Fornberg-Whitham方程作为一类重要的非线性偏微分方程，在浅水波传播等物理过程中具有重要应用价值。然而，由于非线性项和分数阶导数的复杂性，求解这类方程一直是个挑战。

传统数值方法虽然能获得近似解，但往往难以揭示问题的内在数学特性。解析解不仅能提供更深刻的理论洞察，还能为数值方法的验证提供基准。因此，发展有效的解析求解方法对于推动分数阶偏微分方程理论的发展具有重要意义。

本研究主要采用了改进的Adomian近似方法（AAM），结合Riemann-Liouville分数阶积分和Caputo分数阶导数的基本理论。关键技术包括：引入辅助参数构建同伦表达式，通过Maclaurin级数展开处理非线性项，以及利用分数阶微积分的运算法则进行迭代求解。方法的核心在于将复杂的非线性问题转化为一系列线性子问题的求解。

基本理论框架

研究首先系统回顾了分数阶微积分的基本概念，包括Riemann-Liouville分数阶积分和Caputo分数阶导数的定义及其性质。特别强调了分数阶导数的链式法则和Leibniz法则，这些为后续的解析推导奠定了理论基础。

Adomian近似方法的改进

针对传统的Adomian分解法在处理分数阶方程时的局限性，研究提出了一种改进方案。通过引入辅助参数，将原问题嵌入到一个同伦表达式中，使得非线性项能够通过Maclaurin级数展开进行处理。这一改进有效克服了传统方法在收敛性方面的不足。

收敛性分析

通过严格的数学证明，研究建立了改进方法的收敛性定理。理论分析表明，在满足一定条件下，该方法产生的级数解能够一致收敛到真实解。误差估计公式的建立为方法的应用提供了理论保障。

数值算例验证

研究选取了三个典型的非线性时间分数阶Fornberg-Whitham方程进行验证。第一个算例涉及分数阶导数阶数γ在0到1之间的情况，初始条件为sinφ。第二个算例的参数为ρ=-1/2，δ=2，μ=-1，具有更复杂的非线性结构。第三个算例则考虑了双曲函数形式的初始条件。

结果分析

对于每个算例，研究都详细给出了前几项级数解的显式表达式。通过与传统方法的对比，显示了改进方法在精度和收敛速度方面的优势。特别值得注意的是，在分数阶导数阶数γ趋近于1时，得到的解与整数阶情况下的经典解完全一致，验证了方法的合理性。

本研究建立了一套完整的分数阶非线性偏微分方程解析求解理论框架。改进的Adomian近似方法不仅数学理论严谨，而且在实际计算中表现出良好的适用性。方法的核心优势在于将复杂的非线性分数阶问题转化为一系列相对简单的线性问题，大大降低了求解难度。

通过多个典型算例的验证，表明该方法具有广泛的适用性和较高的计算精度。收敛性定理的建立为方法的可靠性提供了理论保证，而误差估计公式则为实际应用中的精度控制提供了依据。

这项研究的理论意义在于丰富了分数阶微积分的解析理论，为处理更复杂的非线性分数阶方程提供了新思路。在实际应用方面，该方法可用于物理、工程等领域的建模和仿真，为相关问题的研究提供了有效的数学工具。未来工作可进一步拓展该方法在其他类型分数阶方程中的应用，并探索其与数值方法的结合。