Ovsyannikov两层浅水模型的可积色散推广及其孤子解分析

《Journal of Nonlinear Waves》：Integrable dispersive generalisation of Ovsyannikov two-layer shallow water model

本文推荐研究人员针对Ovsyannikov两层浅水模型在长波近似下缺乏色散效应描述的问题，开展了可积色散推广的理论研究。通过引入满足渐近可积条件的色散关系，构建了完全可积的Lax对，并系统求解了周期解、孤子解和扭结解。该模型首次实现了对两层流体系统中非线性波动力学的完整数学描述，为研究内波色散激波提供了新范式。

　　

在海洋工程和环境流体力学领域，两层密度分层流体中的内波现象一直是研究热点。当上下层流体存在密度差时（通常ρ₂< ρ₁），界面处会产生两类特征波：快模式对应流体同相运动，慢模式则对应反相运动的界面波。俄罗斯科学家Ovsyannikov于1979年提出的"模型III"通过引入小参数ε=(ρ₁-ρ₂)/ρ₁?1，成功推导出描述界面波慢尺度演化的双曲型方程，但该模型仅适用于无色散的长波近似，无法解释实际海洋中广泛存在的孤子结构和色散激波(DSW)现象。

传统湍流涌浪理论难以刻画从平滑流到振荡流的过渡区域，而Gurevich-Pitaevskii基于Whitham调制理论提出的色散激波分析方法，虽在单层浅水方程（如Kaup-Boussinesq系统）和两分量玻色-爱因斯坦凝聚(BEC)模型中取得成功，但从未应用于Ovsyannikov模型的色散推广。这促使Anatoly Kamchatnov团队在《Journal of Nonlinear Waves》发表最新研究，通过严谨的数学构造将可积性引入两层流体动力学，为复杂海洋内波模拟提供了新工具。

本研究采用渐近可积性理论框架，通过哈密顿方程描述短波包在大尺度背景波上的传播，导出满足可积条件的色散关系ω=k(vw±√((1-v²)(1-w²)+σk²)/2)。基于此构建二阶Lax对（方程3.7-3.10），其兼容性条件自动生成包含三阶色散项的修正Ovsyannikov方程组（3.12）。通过变量变换（3.14）将系统等价于Kaup-Boussinesq方程，利用有限隙积分方法求解。关键技术包括：通过"平方基函数"g=φ₊φ_-导出椭圆积分方程（4.4），借助四次多项式P(λ)的零点配置划分参数空间，采用雅可比椭圆函数构造显式解。

周期和孤子解

通过线性谱问题（3.7）的有限隙积分，得到以四次多项式零点λ_i为参数的周期解（4.12）。当λ₃→λ₄时退化为暗孤子（4.14），其波形由双曲正切函数描述；当λ₂→λ₁时则产生亮孤子（4.16）。图1展示了参数λ₁=-0.2, λ₂=-0.1, λ₄=0.689时的孤子解，通过曲线分岔分析（4.18-4.37）确保v², w²的单值性。

扭结解

当λ₂=λ₁, λ₃=λ₄时获得扭结解（4.17），其连接两个平台态并满足Rankine-Hugoniot条件（4.42）。图2的参数空间阴影区给出了物理可接受的解范围，图3显示该解可描述相对层厚跃变的色散激波。

研究结论表明，该可积模型虽未精确复现真实两层系统的色散关系（附录A），但定性吻合界面波的核心特征。通过严格数学构造首次实现Ovsyannikov系统的完全可积推广，为后续研究色散激波在分层流体中的演化规律奠定理论基础。值得注意的是，模型在ε→0极限下忽略密度差效应，未来需结合"全非线性"理论拓展大振幅孤子描述能力。这项从数学物理出发的创新工作，为海洋内波动力学提供了新的建模范式，其方法论还可推广至其他分层流动系统。

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