Caputo型分数阶脉冲延迟积分微分方程的非局部与积分边值问题解的存在唯一性研究

《Mathematical Biosciences》：Higher-degree super-smooth C1 splines over a Powell–Sabin refined triangulation

本文针对一类具有非局部和积分边界条件的Caputo型分数阶脉冲延迟积分微分方程（CFD）系统，深入探讨了其解的存在性与唯一性。作者通过构建合适的Banach空间并应用不动点定理，在满足一系列 Lipschitz 条件下，严格证明了该复杂系统解的存在唯一性。文中给出的数值算例及图示分析进一步验证了理论结果的正确性与有效性，为相关分数阶动力系统的分析提供了重要的理论工具和方法论支撑。

　　

2. 预备知识

本节回顾了证明主要结果所需的一些基本定义和引理。首先定义了空间 PC(J, R) 和 PC¹(J, R)，并指出它们是 Banach 空间。随后，给出了 Riemann-Liouville (R-L) 分数阶积分和 Caputo 分数阶导数 (CFD) 的定义。

定义 2.1 (R-L 分数阶积分) 给出了阶数为 q > 0 的函数 v(τ) 的 R-L 分数阶积分 I^q₀₊v(τ) 的表达式。为方便起见，取 γ_q= 1/Γ(q)。

定义 2.2 (CFD) 给出了阶数 α ∈ (n-1, n] 的函数 v(τ) 的 Caputo 分数阶导数 ^CD^α₀₊v(τ) 的定义。为后续分析方便，取 n=2 即 1 < q₂≤ 2 的情形。

引理 2.1 和 引理 2.2 列出了 R-L 积分和 CFD 的一些基本性质，这些性质在推导解的表达形式时至关重要。特别指出，R-L 和 CFD 算子不具备整数阶导数所具有的半群性和交换性。

3. 主要结果

本节首先提出了一系列假设 (H1)-(H10)，以确保系统 (1.1) 所需结果的成立。这些假设主要涉及函数 f₁, f₂, f₃, f₄, I_i的连续性、有界性以及满足 Lipschitz 条件等。

随后，通过引理 3.1，将带有非局部和积分边界条件的分数阶脉冲延迟积分微分方程系统 (3.2) 转化为等价的积分方程。这个等价转化是证明解存在性的关键步骤。

定理 3.1 是本文的核心结论。该定理指出，在假设 (H2)-(H8) 成立的条件下，非局部边值问题 (3.2) 在 J 上存在唯一的连续解。证明过程是构造一个映射 Ψ: X → X，其中 X = C(J, B_r)，并证明 Ψ 是到自身的映射且在 X 上是压缩映射。通过计算 ‖Ψv(τ)‖ 并利用假设条件，最终证明存在常数 p ∈ [0, 1)，使得 ‖Ψv₁(τ) - Ψv₂(τ)‖ ≤ p ‖v₁- v₂‖，从而根据 Banach 不动点定理，Ψ 存在唯一的不动点，该不动点即为系统 (3.2) 的唯一连续解。

推论 3.1 将定理 3.1 的结果应用于一个更具体的系统 (3.9)，该系统的边界条件形式略有不同，但解的存在唯一性结论同样成立。

注记 指出在系统 (3.8) 中，若考虑 v(0) = v₀+ f₃(v)，则推论 3.1 的结论依然成立。

4. 示例

本节通过两个具体的例子来验证理论结果。

例 4.1 考虑了一个在单位区间 J = [0, 1] 上定义的分数阶延迟脉冲积分微分方程，其边界条件包含非局部和积分条件。通过具体计算模型中涉及的常数 m₁-m₁₀, L₀-L₅, c₀-c₄等，并验证它们满足定理 3.1 中的假设条件 (H2)-(H8)。计算得到关键参数 p = 0.3656 < 1 且 P₄= 1.39812 < r = 2，从而表明所有假设均成立。根据定理 3.1，该问题在 J 上存在唯一连续解。图 1 和图 2 分别展示了参数 p 和 P₄随分数阶数 q₂变化的情况，进一步直观验证了条件 (H7) 和 (H8) 的满足。

例 4.2 考虑了一个在区间 J = [0, 5] 上定义的、具有更复杂非线性项和边界条件的类似系统。同样地，通过详细计算模型中的各项常数和参数，验证了 Lipschitz 常数 L₁-L₅的存在性，并最终计算出 p = 0.201233 < 1 且 P₄= 3.671223 < r = 4。这表明定理 3.1 的假设再次得到满足。因此，该边值问题在 J 上同样存在唯一连续解。图 3 和图 4 分别为该例子的参数 p 和 P₄提供了图示支持。

结论

本研究成功地将 Banach 压缩不动点技术应用于研究一类带有非局部和 Riemann-Liouville 积分边界条件的 Caputo 分数阶脉冲延迟积分微分方程。研究确立了这些方程解的存在性和唯一性，为分数阶微分方程领域做出了重要贡献。为了支持和验证理论发现，文中提供了全面的说明性示例和图形表示。这些示例证明了理论结果的实际适用性，并增强了对所涉及的复杂数学概念的理解。