各向异性梯度弹性理论中的基尔希问题：从经典解到高阶应变梯度效应

《International Journal of Engineering Science》：Kirsch problem in classical and gradient elasticity. Part I: Anisotropic and homogeneous bodies

本文系统评述了各向异性材料在梯度弹性理论框架下的基尔希问题（含圆孔无限大板在远场单轴拉伸下的应力集中）研究进展。文章严谨推导了各向异性本构关系（柔度张量 sij），并首次给出了弱各向异性（弹性系数存在微小扰动 εij）和简化一阶应变梯度弹性（特征长度参数 c = l2）耦合作用下，艾里应力函数（Airy Stress Function）、应力场（σ?rr, σ?rθ, σ?θθ）及位移场（u?r, u?θ）的解析解。通过引入高阶梯度边界条件，揭示了应力集中因子（Kt）随特征长度尺度（√c/a）和各向异性程度（εij）变化的非经典规律，为纳米结构材料和纤维增强复合材料的失效分析提供了理论基石。

　　

各向异性与梯度弹性理论框架的融合

本文的核心在于将经典的基尔希问题拓展至各向异性材料并纳入应变梯度效应。经典弹性理论基于广义胡克定律，应力σ_ij与应变e_kl通过四阶弹性张量C_ijkl或其逆形式——柔度张量s_ijkl相联系。对于平面应力问题，此张量可简化为六个独立系数（s₁₁, s₁₂, s₂₂, s₁₆, s₂₆, s₆₆）。各向同性作为特例，其柔度系数可由杨氏模量E和泊松比ν完全确定（s₁₁= 1/E, s₁₂= -ν/E, s₆₆= 2(1+ν)/E，其余为0）。为描述弱各向异性，文中引入小参数ε_ij<< 1，使各向异性柔度系数围绕其各向同性值发生微小摄动，例如s₁₂= -ν(1+ε₁₂)/E, s₆₆= 2(1+ν)(1+ε₆₆)/E等。这种参数化方法使得解可以表示为各向同性解与各向异性修正项的线性叠加。

另一方面，简化的一阶应变梯度弹性理论通过引入特征长度平方c = l²来考虑微尺度效应。该理论的核心方程是控制梯度艾里应力函数F?的非齐次亥姆霍兹方程：(1 - cΔ)F?(r,θ) = F(r,θ)，其中F(r,θ)是经典的艾里应力函数，Δ是拉普拉斯算子。相应的梯度应力场σ?通过F?的适当微分获得，并且需要满足更高阶的边界条件，这些条件不仅涉及牵引力，还涉及双牵引力。

经典各向异性基尔希问题的解析构建

在经典理论范畴内，求解各向异性基尔希问题始于寻求满足协调方程的艾里应力函数F(r,θ)。对于本文考虑的正交各向异性材料（或更一般的各向异性），协调方程是一个关于F的四阶偏微分方程。通过分离变量法，假设F(r,θ)具有∑_kF_k(r) e^ikθ的形式，可以将其转化为关于径向函数F_k(r)的常微分方程。其特征根λ是材料柔度系数的函数，决定了应力函数随半径r的变化规律（正比于r^λ）。对于本文讨论的特定边界条件（远场单轴应力σ₀，孔边自由），最终解可以表示为一系列幂次项（如r^-2, r⁰, r², r⁴等）与角向函数（1, cos2θ, sin2θ）的线性组合。系数通过满足远场应力状态（σ_xx(∞)=σ₀, σ_yy(∞)=0, σ_xy(∞)=0）和孔边应力自由（σ_rr(a,θ)=0, σ_rθ(a,θ)=0）的边界条件确定。位移场则通过对应力-应变关系（本构方程）和应变-位移关系进行积分获得，积分常数由消除刚体位移的附加条件确定。

解的显式表达式展示了各向异性如何改变经典的应力分布。例如，在经典的各向同性解中，环向应力σ_θθ在孔边（r=a）θ=π/2处达到最大值3σ₀（应力集中因子K_t=3），而在θ=0处为-σ₀。当存在各向异性时，不仅应力集中因子的大小会改变，应力场的角分布也会出现与sin2θ相关的附加项，这是各向同性情况所没有的。这种角分布的变化为通过实验测量应力场来反演材料的各向异性程度提供了可能。

梯度弹性理论下的应力场正则化与尺度效应

梯度弹性理论的引入旨在消除经典理论在应力集中处（如孔边）出现的奇异性，并描述当结构特征尺寸（如孔径a）与材料内部特征长度l相当时出现的尺寸效应。控制方程(1 - cΔ)σ? = σ意味着梯度应力场σ?是经典应力场σ经过一个以特征长度√c为核的卷积平滑后的结果。这导致应力集中点附近的极高应力值被降低，应力梯度变得平缓。

求解梯度弹性下的基尔希问题，通常采用Ru和Aifantis提出的方法，即先求解经典的应力场或艾里应力函数F(r,θ)，然后通过求解上述亥姆霍兹方程得到梯度的F?(r,θ)。该方程的解可以表示为齐次解（满足(1-cΔ)F?^hom=0）和特解（与经典解F相关）的叠加。齐次解涉及修正的贝塞尔函数I_n(qr)和K_n(qr)，其中q = a/√c。特解可以通过格林函数法构造，涉及对经典解与贝塞尔函数的积分。最终，梯度应力场通过F?对坐标的微分得到。

结果表明，应力集中因子K_t= σ?_θθ(a, π/2)/σ₀不再是常数3，而是特征长度与孔径之比q = a/√c的函数。当√c/a → 0（即特征长度远小于孔半径，宏观尺度）时，梯度解退化为经典解，K_t→ 3。随着√c/a增大（微尺度），K_t显著降低，这解释了为什么在小尺度实验中观察到的应力集中效应往往低于经典理论的预测。有趣的是，在极限情况√c/a → ∞时，文中给出的解表明K_t趋近于-2，这体现了强梯度效应下应力分布的深刻变化。梯度理论还预测了孔边应力的有限值，消除了经典理论的奇异性。

各向异性与梯度效应的耦合机制

本文最重要的贡献在于系统研究了两者耦合效应。此时，梯度艾里应力函数F?(r,θ)需要同时包含与cos2θ和sin2θ相关的项，后者是各向异性的直接体现。解析解显示，梯度应力场σ?_ij可以表示为各向同性梯度解与一系列由各向异性参数ε_ij加权的修正项之和：σ? = σ?^iso+ Σ_ijε_ijΔ_ijσ?。

这种耦合是非平凡的。一方面，各向异性改变了经典应力场σ的分布，而σ又是梯度方程(1-cΔ)σ?=σ的源项，因此各向异性会通过源项影响最终的梯度应力场。另一方面，高阶梯度边界条件本身也包含材料弹性常数，使得各向异性也会直接影响边界条件的表达形式。研究表明，不同的各向异性模式（即不同的ε_ij）对梯度应力集中因子K_t的影响是不同的：某些模式会进一步增强应力集中，而另一些则会减弱它。这种依赖性随着特征长度q的变化而变化，为通过调控材料微观结构（从而控制各向异性类型和特征长度）来优化结构的抗断裂性能提供了理论指导。

结论与展望

本文通过严谨的数学推导，全面解决了各向异性梯度弹性理论下的基尔希问题，获得了应力和位移场的封闭解析解。这些解清晰地揭示了材料各向异性和内部特征长度对应力集中行为的协同影响规律。结果表明，在微纳米尺度或具有显著各向异性的材料（如复合材料、晶体材料）中，基于经典弹性理论的预测可能不再准确，必须考虑应变梯度效应和各向异性的耦合作用。本文发展的理论框架和解析结果为理解此类材料的失效机理、优化材料与结构设计提供了重要的分析工具。未来的工作可以着眼于更复杂的各向异性本构关系、动态加载条件以及将该方法应用于其他典型的应力集中问题（如裂纹、夹杂等）。