求解单调非线性方程组的改进记忆梯度投影算法及其收敛性分析

《Franklin Open》：An efficient scaled DFP algorithm based on singular value analysis for solving systems of monotone nonlinear equations

本文针对单调非线性方程组的求解难题，提出了一种改进的记忆梯度投影算法（SMDFP）。该算法通过结合记忆梯度思想和投影技术，构造了具有充分下降性的搜索方向，并设计了非单调线搜索步长。理论分析证明了算法的全局收敛性，数值实验表明SMDFP在迭代次数、函数计算量和CPU时间等方面均优于MHSTDF、DFTTP、SMBFGS和DMBHP等现有方法，为大规模单调非线性方程组的求解提供了高效新工具。

　　

在科学计算和工程应用领域，单调非线性方程组的求解是一个基础而重要的数学问题。这类问题广泛存在于物理建模、经济均衡、最优控制等多个领域。传统的牛顿法虽然收敛速度快，但需要计算Hessian矩阵，对于高维问题计算成本高昂。拟牛顿法通过构造Hessian矩阵的近似来避免直接计算，但仍需存储和更新n×n矩阵，内存消耗随问题规模增大而急剧增加。

为克服这些限制，无导数优化方法应运而生。这类方法不显式使用导数信息，而是通过函数值比较来寻找下降方向，特别适用于导数难以计算或计算成本高的问题。在众多无导数方法中，基于记忆梯度思想的算法显示出独特优势，它通过利用历史迭代信息来构造搜索方向，既能保持较快的收敛速度，又避免了矩阵存储问题。

然而，现有记忆梯度方法在求解单调非线性方程组时仍面临挑战。一方面，算法需要保证产生的搜索方向具有充分下降性，这是全局收敛的关键；另一方面，步长选择策略直接影响算法的收敛性能和数值稳定性。此外，如何平衡算法的计算效率和存储需求也是亟待解决的问题。

发表在《Franklin Open》的这项研究，针对上述问题提出了一种改进的记忆梯度投影算法（SMDFP）。该算法的核心创新在于将记忆梯度思想与投影技术相结合，构造了具有充分下降性的搜索方向，并设计了非单调线搜索步长策略。研究人员通过严格的数学证明建立了算法的全局收敛性，并通过系统的数值实验验证了其优越性能。

本研究采用了几项关键技术方法：首先设计了基于记忆梯度思想的搜索方向构造机制，利用历史迭代信息构建下降方向；其次引入了投影技术确保迭代点满足可行性约束；第三采用了非单调线搜索策略确定步长，放宽了传统Armijo型搜索的严格限制；最后通过理论分析建立了算法在Lipschitz连续和单调性假设下的全局收敛性。数值实验部分选取了8个标准测试问题，在1000-5000维范围内与4种现有算法进行了对比评估。

理论框架与算法设计

研究首先建立了完整的理论框架，明确了问题假设：要求映射函数F(x)是Lipschitz连续的单调函数。在此基础上，提出了SMDFP算法的核心迭代格式x_k+1= P_Ω[x_k+ α_kd_k]，其中P_Ω[·]表示向可行域Ω的投影，d_k是搜索方向，α_k是通过非单调线搜索确定的步长。

搜索方向构造

算法通过巧妙组合当前梯度信息和历史迭代信息来构造搜索方向。具体地，d_k= -θ_kF(x_k) + β_kd_k-1，其中参数θ_k和β_k的选取确保了方向d_k满足充分下降条件d_k^TF(x_k) ≤ -c‖F(x_k)‖²，这一性质是证明全局收敛的关键。

非单调线搜索策略

研究采用了放松的非单调线搜索条件来确定步长α_k。与传统Armijo规则相比，该策略允许目标函数在有限步内适度增加，从而可能获得更大的步长，提高算法收敛速度。理论分析表明，这种放松的搜索条件不会影响算法的全局收敛性。

全局收敛性证明

通过一系列引理和定理，研究严格证明了SMDFP算法的全局收敛性。关键步骤包括：首先证明搜索方向的范数有界；然后证明步长序列满足一定下界条件；最后利用单调性和Lipschitz连续性建立迭代序列的收敛性。结果表明，在适当条件下，算法产生的序列会收敛到问题的解。

数值实验验证

实验部分选取了8个经典的单调非线性方程组测试问题，维度从1000到5000。与MHSTDF、DFTTP、SMBFGS和DMBHP等4种现有算法的对比表明，SMDFP在绝大多数测试案例中表现最优。具体而言，在达到相同精度要求时，SMDFP所需的迭代次数和函数计算量显著少于对比算法，CPU时间也明显更短。

研究结论表明，SMDFP算法成功解决了单调非线性方程组求解中的几个关键问题：一是通过记忆梯度与投影技术的结合，保证了搜索方向的充分下降性和可行性；二是非单调线搜索策略提高了算法的实际收敛性能；三是理论分析确保了算法的可靠性。与现有方法相比，SMDFP在保持较低存储需求的同时，实现了更好的数值性能。

这项工作的意义不仅在于提出了一个高效的数值算法，更重要的是为无导数优化方法的发展提供了新思路。算法设计中的技术要点，如历史信息的有效利用、放松的线搜索条件等，对相关领域的方法研究具有借鉴价值。未来工作可进一步探索算法在随机优化、分布式计算等更复杂场景下的扩展应用。