β-变换在零点开孔下的临界行为与分岔集研究：从区间(1,2]到一般情形的推广

《Ergodic Theory and Dynamical Systems》：The $\beta $ -transformation with a hole at $0$ : the general case

本文研究了β-变换在零点开孔下的幸存集与分岔集。作者将β∈(1,2]情形的已有结果推广到所有β>1，通过引入扩展Farey词和替换算子，精确计算了临界值τ(β)，证明了τ(β)函数的左连续性、可数无穷间断点等性质，并深入分析了分岔集Eβ的拓扑特性。该研究为开放动力系统理论提供了重要工具，揭示了β-变换在一般基数下的深刻动力学行为。

　　

在动力系统理论中，开放动力系统（即带有"孔洞"的动力系统）近年来备受关注。这类系统通过研究轨道在进入孔洞前的行为，揭示了动力学的深层结构。其中，β-变换作为经典混沌映射的自然推广，在数论、分形几何和动力系统等多个领域具有重要地位。当β-变换定义在单位区间[0,1)上，并在零点附近设置孔洞时，就产生了所谓的"幸存集"问题——即那些轨道永远不会落入孔洞的点集。

此前，Kalle等人对β∈(1,2]的情形进行了深入研究，发现幸存集的Hausdorff维数函数呈现"魔鬼阶梯"特性，并定义了分岔集来描述幸存集发生突变的参数值。Allaart和Kong在前期工作中计算了该区间内的临界值τ(β)，即幸存集维数首次降为零的点。然而，当β>2时，问题的复杂性显著增加——符号动力学所需的字母表规模扩大，传统的Farey词方法不再直接适用。这一推广瓶颈阻碍了该理论在更一般 setting 下的发展。

为解决这一难题，本文作者创新性地引入了扩展Farey词概念，并建立了相应的替换算子理论。通过将Farey词从二元字母表{0,1}推广到任意规模字母表，作者成功地将β∈(1,2]情形的结果完整地推广到了所有β>1的情形。这一突破不仅解决了技术上的推广难题，更深刻地揭示了β-变换在一般基数下的普适性规律。

研究团队采用符号动力学方法，通过分析拟贪婪展开和贪婪展开的性质，建立了幸存集维数与拓扑熵的精确关系。关键技术包括扩展Farey词的构造、替换算子Φ_S的定义与性质分析、基本区间和Farey区间的划分、以及临界值τ(β)的分段表达式推导。特别地，作者通过引入映射Ψ_S将(1,2]区间上的性质推广到更大基数的情形，并利用Hausdorff维数、packing维数等工具分析了例外集的测度性质。

研究结果方面，首先作者给出了临界值函数τ(β)的完整描述：在基本区间I^S上，τ(β)有显式表达式(S^-L(S)^∞)_β；在例外集E上，τ(β)=1-1/β；在相对例外集E^S上，τ(β)通过替换算子与低维情形相关联；在无穷重整化集E_∞上，τ(β)可通过极限过程计算。这些结果完全解决了β>1情形下临界值的计算问题。

其次，作者证明了τ(β)函数的重要分析性质：该函数在(1,∞)上左连续且处处存在右极限，具有可数无穷个间断点，但没有向下跳跃。更重要的是，存在开集O?(1,∞)，其补集的Hausdorff维数为零，使得τ在O的每个连通分支上都是实解析、严格凸且严格递减的。这一深刻结论揭示了临界值函数的整体结构特征。

在分岔集E_β的研究方面，作者证明了其等价于{t∈[0,1): T_βⁿ(t)≥t对所有n≥0}，且该集合是Lebesgue零测集但具有满Hausdorff维数。更为精细的是，对几乎所有β>1，E_β在零点附近既包含无穷多个孤立点，也包含无穷多个聚点，而存在一个Hausdorff维数为零的不可数集E_L，使得E_β不含孤立点当且仅当β∈E_L。这些结果彻底刻画了分岔集的拓扑结构。

特别值得关注的是，作者发现对于大β值，基本区间I^k=[k+1,β_*^(k)]逐渐占主导地位，且当k→∞时，|I^k|→1。这意味着在大基数情形下，临界值函数的"规则"部分占据绝大部分参数空间，例外集仅集中在参数空间的"边缘"区域。

本文结论部分强调了扩展Farey词方法的核心作用——通过将替换算子与符号动力学相结合，作者成功建立了β>2情形与β∈(1,2]情形之间的桥梁。这种方法的优势在于它不仅解决了临界值计算的技术难题，还揭示了β-变换在一般基数下的深层结构规律。

研究的理论意义在于首次完整描述了β>1情形下β-变换开孔动力学的临界行为，为开放动力系统理论提供了强有力的工具。实际应用方面，该成果与"k倍映射"的多孔洞问题存在深刻联系，为研究更复杂的逃逸率问题奠定了基础。此外，文中建立的符号动力学方法有望应用于其他带有间断点的动力系统研究。

最后，作者指出β-变换开孔问题与k倍映射多孔洞问题的对偶关系，为后续研究指明了方向。这种联系不仅丰富了理论框架，也为实际应用提供了新的视角。本文的工作标志着β-变换开孔动力学研究的一个重要里程碑，为这一领域的未来发展奠定了坚实基础。