一种基于任意高阶SETD方法的局部时间步进算法：在多尺度电磁分析中实现指数级收敛与计算效率的提升

《IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques》：An Arbitrary High Order SETD Method With Local Time-Stepping: Exponential Convergence and Computational Efficiency for Multiscale Electromagnetic Analysis

针对电磁瞬态多尺度分析效率问题，提出一种基于二阶波动方程的高阶谱元时间域方法（LTS-ADER-SETD），通过统一处理局部时间步进策略实现无同步时域耦合，显著提升计算效率并保持空间时间高阶精度，支持极端时间步长比，验证其在变尺度电磁问题中的高效性。

　　

摘要：

本文提出了一种用于瞬态电磁场仿真的任意高阶谱元时域方法（LTS-ADER-SETD），该方法采用了局部时间步进（LTS）技术。通过将时间导数替换为空间导数，全面推导出了基于二阶波动方程的LTS-ADER-SETD方法的表达式。该技术的创新之处在于无需时间同步约束即可实现子域间的耦合，这得益于对局部时间步进（LTS）方案的统一处理。随着时空离散化阶数的提高，该方法能够显著降低计算误差，并大幅提升多尺度电磁分析的计算效率。数值收敛结果表明，即使在极大的时间步长比下，该方法在空间域和时间域中也具有很高的精度。进一步的验证表明，该方法在处理元素尺寸变化较大的电磁问题时仍能保持较高的计算效率。

引言

谱元时域（SETD）方法继承了谱方法的优势[1]。在传统的有限元时域（FETD）方法中，节点、边和面在元素边界处是共享的，且层次基函数在元素接口处是连续的。因此，基函数的积分涉及到元素之间的重叠区域，这会导致全局质量矩阵的非对角线块区域出现非零元素[2]。尽管SETD方法也涉及相邻元素之间的节点共享，但由于高斯-洛巴托-勒让德（GLL）多项式基函数的正交性，基函数的积分仅在元素内部非零，而在元素之间必须为零[3]、[4]。因此，即使使用曲面六面体进行网格划分，SETD方法也能得到全局块对角线质量矩阵[5]。此外，如果使用直六面体网格进行空间离散化，全局块对角线质量矩阵将转化为对角线质量矩阵[6]，从而在采用显式求解策略时显著提高计算效率。SETD技术在电磁波传播[7]、[8]、微波击穿[9]、[10]以及半导体器件的电热特性[11]、[12]、[13]分析中展现出了显著的优势，因此受到了广泛关注。现有的电磁学SETD方法主要分为两类：基于一阶麦克斯韦方程的SETD方法[14]、[15]、[16]和基于二阶波动方程的技术[17]、[18]、[19]、[20]。通常情况下，基于二阶波动方程的方法在计算效率和内存消耗方面明显优于基于一阶麦克斯韦方程的方法[21]、[22]、[23]、[24]。随着时间步进方案的发展，SETD研究也取得了进展。显式时间步进方案（如中心差分（CD）方案[19]或龙格-库塔（RK）方案[20]）使得SETD方法具有天然的并行性，并且无需在每个时间步长求解大型矩阵方程。然而，CD方案的时间精度仅为二阶，这与SETD方法的高阶空间精度不匹配[25]。RK时间离散化方案虽然具有更高的精度，但当阶数超过四时，由于所谓的“布彻障碍”效应，其计算效率会大幅下降[26]。此外，显式时间步进方案的瞬态求解器的时间步长受到最小元素上Courant-Friedrichs-Lewy（CFL）稳定性条件的限制，这限制了SETD方法在多尺度分析中的应用效率。为了实现多尺度建模，人们将显式CD方案与隐式Newmark方案结合，应用于基于波动方程的SETD方法中[17]，但隐式时间步进方案的引入降低了SETD方法的并行化能力。因此，一种高效且灵活的高阶精度时间离散化方案对于SETD在电磁分析中的成功应用至关重要。