内模原理50周年：从线性系统到非线性与自适应控制的演进与展望

《IEEE Control Systems》：The Internal Model Principle [An Introduction to the Special Issue]

本期特刊聚焦内模原理（Internal Model Principle）发表50周年，系统回顾了Francis和Wonham提出的线性多变量调节器理论，并深入探讨了其向非线性系统、自适应前馈控制和切换内模设计等方向的拓展。研究揭示了内模嵌入对实现鲁棒调节（robust regulation）的必要性，为解决存在参数不确定性和外系统（exosystem）扰动下的输出调节问题提供了统一框架，推动了控制理论在工程与生物系统中的广泛应用。

　　

马克·吐温在《密西西比河上的生活》中描述了一位舵手从依赖即时视觉反馈到将河流形态内化于心的转变过程——这一隐喻精准揭示了内模原理（Internal Model Principle）的核心思想：可靠的调节不仅需要反馈，更需要对被跟踪或抑制信号的内在表征。2025年正值Francis和Wonham发表开创性论文《线性多变量调节器的内模原理》50周年，《IEEE Control Systems》推出两卷特刊，首卷围绕“内模原理如何从线性时不变系统向更广领域拓展”这一主题，通过三篇专题论文系统梳理了该理论的发展脉络与前沿进展。

经典控制理论早在1930年代就证明误差反馈可降低系统对参数变化的敏感度并减小稳态误差，但需以高环路增益为代价。Francis和Wonham于1975年提出的内模原理表明：要实现鲁棒调节（robust regulation），即尽管对象存在不确定性仍能保持轨迹有界且调节误差渐近趋零，控制器必须嵌入生成参考信号与扰动信号的外系统（exosystem）模型。这一原理不仅提供了实现零稳态误差的技术路径，更深刻揭示了鲁棒性的本质。Wonham曾以交响乐比喻其和谐性：外系统如同乐团，对象与控制器如同专注的听众，稳态时系统整体追随外系统的节奏。

然而，线性理论在非线性系统中面临根本性挑战。非线性系统的稳态不再仅由外系统决定，还可能受对象初始条件影响，需引入稳态轨迹（steady-state locus）这一概念描述从外系统状态到对象-控制器联合状态的映射。此时“听众不再被动”，调节器需同时嵌入外系统模型与受对象动力学影响的内部模型，形成“鸡生蛋还是蛋生鸡”的设计困境。此外，当外系统本身存在不确定性时，经典内模设计方法需结合自适应与切换策略才能实现有效调节。

为突破这些局限，研究人员开展了系列理论探索。Isidori的综述性论文首先重新审视了Francis-Wonham线性理论的必要性条件与鲁棒性内涵，强调非共振条件对保证系统可控性的关键作用。Huang与Isidori合作研究了非线性输出调节问题，提出当稳态轨迹仅依赖于外系统时，可将内模置于对象输入端，并利用非线性控制工具稳定扩展系统，形成与线性案例中“误差驱动内模”截然不同的直接输入作用结构。Wang、Gong、Ji、Pin、Serrani与Parisini则聚焦鲁棒输出调节中的自适应前馈控制（adaptive feedforward control）范式，将经典内模理论与现代自适应及切换方法相结合，开发出无需精确系统模型即可抑制周期性扰动的切换内模（switching internal models）框架，其中多个候选模型并行运行， supervisory mechanism（监控机制）动态选择最优模型，显著提升不确定环境下的适应性。

关键技术方法包括：1）针对非线性系统建立稳态轨迹分析框架，刻画外系统与对象状态的映射关系；2）设计基于内模嵌入的级联控制器结构，并采用非线性稳定化方法确保闭环稳定性；3）开发多模型并行与监控切换机制，实现对外系统不确定性的自适应调节；4）通过平均法与小增益理论分析系统鲁棒性；5）在声学管道主动噪声控制实验中验证自适应前馈与切换策略的有效性。

研究结果与结论：

一、线性内模原理的鲁棒性本质

通过严格数学证明阐明了内模嵌入对实现鲁棒调节的必要性。研究表明控制器必须精确复制外系统结构才能确保闭环系统与外系统同步，该结论揭示了内模原理超越名义调节的深层鲁棒属性。

二、非线性输出调节的稳态轨迹理论

通过引入集值映射描述的稳态轨迹，解决了非线性系统中稳态依赖于初始条件的问题。在稳态轨迹为单值函数的假设下，成功构建了内模置于对象输入端的调节器结构，突破了线性框架中误差驱动的设计范式。

三、自适应前馈与切换内模设计

提出了融合内模理论与自适应控制的统一框架，梯度算法与切换策略的结合显著降低了对模型精度的依赖。声学实验表明，切换内模能在不确定环境下有效抑制周期性噪声，为实际工程应用提供了新途径。

综上所述，本系列研究通过拓展Francis-Wonham内模原理的应用边界，证实了该理论在非线性、自适应及多智能体系统中的强大生命力。从线性系统的精确同步到非线性系统的稳态轨迹分析，再到应对不确定性的切换策略，内模原理始终为实现鲁棒调节提供核心理论基础。这些进展不仅深化了对生物神经系统预测机制（如蜻蜓捕食、棒球击球等快速动作中的内部模型）的理解，更为先进控制系统设计奠定了数学基础，标志着控制理论在跨学科融合中持续演进的重要里程碑。