基于加权Lp拟范数与各向异性总p变分正则化的叠前三参数反演方法研究

《IEEE Access》：An ATpV Regularization Pre-Stack Three-Parameter Inversion Method Based on Weighted Lp

本文针对叠前地震反演中存在的病态性、地层边界保持能力不足及稀疏恢复效果差等问题，提出了一种结合重加权Lp拟范数最小化与各向异性总p变分（ATpV）正则化的ATpV-Lp反演方法。研究人员通过交替方向乘子法（ADMM）优化目标函数，在Marmousi2合成数据和四川盆地页岩储层实际数据上的测试表明，该方法相较于传统ATpV方法显著降低了VP、VS和ρ的反演误差，收敛速度更快，抗噪能力更强，为复杂储层表征提供了可靠支撑。

　　

在地球物理勘探领域，精确获取地下介质的纵波速度（V_P）、横波速度（V_S）和密度（ρ）等弹性参数，对于储层预测和油气识别至关重要。叠前地震反演技术通过分析振幅随入射角的变化关系，为揭示地下物性信息提供了有力手段。然而，传统的反演方法常常面临病态性问题，导致解不唯一且不稳定，同时对于地层边界的刻画能力有限，难以满足复杂储层精细表征的需求。常规的正则化技术虽然在改善反演稳定性方面发挥了一定作用，但其稀疏恢复能力往往不足，影响了反演结果的分辨率和准确性。

针对上述挑战，一篇发表在《IEEE Access》上的研究论文提出了一种创新的解决方案——ATpV-L_p叠前三参数反演方法。该方法首次将重加权L_p拟范数最小化与各向异性总p变分（Anisotropic Total p-Variation, ATpV）正则化相结合，旨在有效压制反演的病态性，并更好地恢复参数的稀疏特征。

研究人员开展此项研究，旨在提升叠前地震反演在复杂地质条件下的适用性。他们基于Aki和Richards提出的Zoeppritz方程近似式，建立了地震数据与弹性参数之间的线性关系。为了增强反演的稳定性和分辨率，研究团队在目标函数中引入了ATpV正则化项，该正则化项能够分别约束模型在水平和垂直方向上的变化，从而更好地保持地层边界。同时，为了克服传统L₁范数稀疏表示能力的不足，他们采用了重加权L_p（0<>

本研究主要应用了几个关键技术方法：首先是基于纵波速度、横波速度和密度的Zoeppritz方程近似，构建了地震数据与待反演参数之间的正演模型；其次是构建了融合ATpV正则化和重加权L_p拟范数约束的反演目标函数；最后是利用ADMM算法对目标函数进行有效优化。实际数据来源于中国四川盆地龙马溪组下段的页岩气储层地震数据。

A. 基于纵波速度、横波速度和密度的近似方程

研究基于Aki和Richards的近似公式，建立了反射系数R(θ)与纵波速度反射率R_VP、横波速度反射率R_VS以及密度反射率R_ρ之间的线性关系。通过将反射系数表示为弹性参数对数的差分形式，并卷积子波，最终将正演问题表述为S=AL的矩阵形式，其中S为地震数据，L为弹性参数的自然对数矩阵，A为由子波矩阵、角度相关矩阵和差分矩阵构成的核矩阵。

B. ATpV-Lp方法

该方法的核心是ATpV-L_p正则化器，其定义为ATpV-Lp(L) = λ(w₁‖LD_x‖_p^p + w₂‖D_yL‖_p^p)。其中，L_p拟范数（0<>₁范数能更有效地促进稀疏性。各向异性项通过对水平差分（LD_x）和垂直差分（D_yL）施加不同的约束，旨在保持地层横向连续性的同时，突出垂直方向的边界。重加权机制通过迭代更新权重w₁和w₂，消除了参数幅值对稀疏度量的影响，从而进一步提升了稀疏恢复能力。

C. 基于ATpV-Lp的叠前反演方法

反演的目标函数在最小二乘数据拟合项和初始模型约束项的基础上，加入了上述ATpV-L_p正则化项。利用ADMM算法，引入辅助变量和二次惩罚项，将目标函数分解为关于L、L_x、L_y、C_x、C_y五个子问题的交替优化，直至满足收敛条件。

D. 理论数据

研究采用Marmousi2合成模型进行验证。生成了10°、20°和30°入射角的地震记录。反演结果表明，ATpV-L_p方法获得的反演结果与理论模型吻合度更高。

图5展示了ATpV-L_p方法的反演结果，与图3的理论模型相比，其纵波速度、横波速度和密度的反演结果在模型断层区域更稳定，横向连续性更好，纵向地层边界更清晰。

作为对比，图6展示了传统ATpV正则化方法的反演结果。通过计算绝对误差（图7）可以发现，ATpV-L_p方法在大部分区域，特别是红色矩形框标示的关键地质构造区域，误差显著降低。单道对比（图8）进一步证实，ATpV-L_p方法的反演结果（绿色曲线）比ATpV方法（紫色曲线）更接近真实模型（蓝色曲线）。定量分析显示，相较于传统ATpV方法，ATpV-L_p方法将V_P、V_S和ρ的平均反演误差分别降低了约57.7%、46.4%和44.0%，收敛速度加快了约1.3倍，迭代次数减少了25%。

在添加5dB高斯白噪声的噪声鲁棒性测试中（图9），ATpV-L_p方法的反演结果（图10）虽然质量有所下降，但仍能较好地反映地质特征。而ATpV方法的反演结果（图11）则出现了更多异常值，受噪声影响更明显。误差分析（图12和表2）表明，ATpV-L_p方法在含噪条件下的误差稳定性是ATpV方法的2至2.5倍。

III. 实际数据与结果

A. 实际数据

将该方法应用于四川盆地南部龙马溪组下段页岩气储层的实际地震数据（图14）。井震标定结果（图13）验证了时深关系的准确性。

B. 结果

ATpV-L_p方法的反演结果（图15）与ATpV方法的反演结果（图16）相比，整体分辨率显著提高，红色矩形框放大区域的横向连续性得到有效改善，纵向分辨率更高，能更有效地表征地层特征。与测井数据的对比（图17）表明，ATpV-L_p方法的反演结果更接近测井数据，稳定性更高。在红色方框标示的高品质页岩储层区域，ATpV-L_p方法能更准确地反演出储层特征。定量结果显示（表3），ATpV-L_p方法得到的V_P、V_S和ρ平均反演误差分别为41.92 m/s、32.22 m/s和14.09 kg/m³，远低于ATpV方法的99.24 m/s、60.15 m/s和25.17 kg/m³。在实际应用中，该方法将含水层的误判率降低了约20%。

本研究提出的ATpV-L_p叠前三参数反演方法，通过整合重加权L_p拟范数、ATpV正则化和ADMM算法，有效解决了传统反演方法中的病态性、稀疏恢复不足和收敛速度慢等问题。理论模型和实际数据应用均表明，该方法显著提高了V_P、V_S和ρ的反演精度和分辨率，增强了抗噪声能力，并加快了收敛速度。在四川盆地页岩气储层的应用中，该方法成功刻画了低速、低密度的含气储层特征，降低了钻井风险，为复杂储层的精细表征和油气勘探开发提供了更为可靠的技术支持。尽管该方法在超参数经验性调试和强各向异性介质中的应用效果有待进一步验证，但其在稀疏恢复、边界保持和收敛速度之间取得了良好平衡，对推动叠前反演方法发展和储层勘探实践具有重要意义。