基于李雅普诺夫约束的混合建模框架及其在非等温CSTR系统中的应用研究

《Industrial & Engineering Chemistry Research》：Lyapunov-Constrained Hybrid Modeling for Stable Parameter Learning in Nonlinear Systems

本文提出一种结合李雅普诺夫稳定性理论与混合建模的新方法，通过构建参考映射（θ-map）和引入李雅普诺夫衰减约束，确保学习参数在物理合理范围内有界。该方法在非等温连续搅拌釜反应器（CSTR）中成功应用于时变结垢系数的估计，显著提升了模型预测精度与泛化能力，为复杂动态系统的安全控制提供了新思路。

　　

引言

在化学工程与过程控制领域，精确建模对系统优化与安全运行至关重要。传统第一性原理模型（FPM）虽具物理可解释性，但难以捕捉实际系统中的未建模动态或时变参数（如设备结垢、催化剂失活）。混合建模通过融合物理方程与数据驱动修正，平衡了机理基础与适应性，然而其学习组件的无约束优化可能导致参数漂移或物理意义缺失。本文提出一种李雅普诺夫约束的混合建模框架，将稳定性理论嵌入学习过程，确保数据驱动修正始终沿物理合理的流形演化。

理论基础：控制仿射系统与李导数分析

研究针对控制仿射非线性系统，其动力学形式为

? = f(x) + Σ_j=1^m g_j(x)u_j,??y = h(x)

其中x为状态向量，u为控制输入，y为输出。通过李导数（Lie derivatives）分析系统的相对阶（relative degree），即输出需经过多少次求导后控制输入才显式出现。例如，单输入单输出系统中，相对阶r满足L_gL_f^k-1h(x) = 0（对k < r），且L_gL_f^r-1h(x) ≠ 0。该性质决定了可观测特征向量z(x)的构建方式，包含输出及其前r-1阶李导数。这些特征作为学习未知参数θ(x)的输入，确保修正项在物理上可解释。

参考映射构建与混合模型结构

为约束学习参数，离线阶段通过仿真数据训练参考映射θ_map(z)，使其逼近真实参数θ(x)。该映射定义了参数应遵循的物理合理流形。在线混合模型中，嵌入可学习的参数估计器?θ(x; φ)，其动力学形式为

? = f(x) + G(x)u + H(x)?θ(x; φ)

其中H(x)为参数影响结构的已知函数。关键创新在于损失函数中引入李雅普诺夫惩罚项，以误差?θ = ?θ - θ_map构建李雅普诺夫函数V = 1/2 ?θ²，并强制其沿轨迹满足衰减条件V? ≤ -α?θ² + β（α, β > 0）。该约束通过优化中的软惩罚实现，确保?θ指数收敛至有界管域。

案例研究：非等温CSTR结垢建模

以典型非等温连续搅拌釜反应器（CSTR）为例，系统发生不可逆放热反应A → B，动力学由组分与能量平衡描述：

dC_A/dt = F/V (C_A0 - C_A) - k₀exp(-E/RT) C_A²

dT/dt = F/V (T₀ - T) + UA/(ρc_pV) (T_j - T) - ΔH/(ρc_p) k₀exp(-E/RT) C_A²

其中结垢系数U(t)为时变未知参数。分析表明，以浓度C_A为输出时，系统相对阶r = 2，特征向量选为z = [C_A, ?_A]。通过100组不同初始条件与结垢轨迹的仿真数据训练参考映射，随后在混合模型训练中联合优化状态跟踪损失、映射跟踪损失（λ‖?θ‖²）及李雅普诺夫惩罚（μ·max(Δ, 0)²），其中Δ = ?θ(?θ? - θ?_map) + α?θ²。

结果与讨论

在包含阶跃与振荡输入的测试案例中，李雅普诺夫约束模型显著优于传统混合模型。如图2所示，在快速升温（Case 1）与剧烈波动（Case 2）工况下，该模型准确预测浓度与温度轨迹（RMSE_CA = 0.06 kmol/m³, RMSE_T = 1.8 K），而传统模型出现明显偏差（RMSE_CA = 0.15 kmol/m³, RMSE_T = 4.7 K）。参数估计精度方面（图3），李雅普诺夫模型R²达0.982，传统模型仅为0.893。在超出训练域的泛化测试（Case 3–4）中，该框架通过李雅普诺夫约束抑制了参数漂移，保持了物理合理性，而传统模型出现发散振荡。

结论与展望

本研究通过李雅普诺夫稳定性理论为混合建模注入可证明的边界保障，使数据驱动修正既灵活又安全。该方法在CSTR结垢估计中的成功验证了其处理时变不确定性的潜力。未来可扩展至多相反应器、电池健康管理等更高维系统，结合稀疏识别或降维技术处理复杂特征空间。此外，与物理信息神经网络（PINN）等方法的对比将进一步明确其优势。该框架为动态系统的可靠建模与控制提供了新范式，尤其适用于安全苛求的工业场景。