基于数学建模与深度学习的传染病控制集成框架：融合确定性/随机模型与LSTM预测的新策略

《IEEE Open Journal of Engineering in Medicine and Biology》：An Integrated Framework for Infectious Disease Control Using Mathematical Modeling and Deep Learning

本文推荐一项创新性传染病控制研究，针对传统模型难以处理数据不平衡、噪声及疫苗接种、迁移率影响的问题，研究人员通过整合确定性模型（如SIR）、随机微分方程、时滞微分方程与深度学习（LSTM），构建了一个集成预测框架。研究利用Routh-Hurwitz准则和Lyapunov方法分析了无病平衡点的全局稳定性，通过非线性Volterra积分方程研究了地方病平衡点，并探讨了时滞对感染率和疫苗接种的影响。结果表明，该框架显著提升了预测精度，为传染病动态控制提供了更可靠的决策支持。

　　

传染病一直是全球公共卫生的重大挑战，尤其是像COVID-19这样高传染性的疾病，其快速传播对社会造成了深远影响。传统的传染病预测方法，如经典的SIR（Susceptible-Infectious-Recovered）模型，虽然被广泛应用，但往往假设感染率为常数，忽略了现实世界中数据的不平衡性、噪声干扰以及疫苗接种、人口迁移等因素的动态影响。这些局限性使得现有模型在精确预测疾病传播模式和评估控制策略效果方面面临严峻挑战。此外，时间延迟（如潜伏期、免疫衰减等）在传染病动力学中扮演着关键角色，却常被简化处理。因此，开发一个能够综合考量确定性、随机性、深度学习和时滞效应的新型预测框架，对于提升传染病防控策略的准确性和鲁棒性具有迫切需求。

在这一背景下，Mohammed Salman、Pradeep Kumar Das和Sanjay Kumar Mohanty在《IEEE Open Journal of Engineering in Medicine and Biology》上发表了一项研究，提出了一个创新的传染病控制集成框架。该研究旨在通过融合数学建模（包括确定性模型、随机微分方程和时滞微分方程）与深度学习技术，克服传统方法的不足，实现对传染病动态的更精准预测和分析。研究不仅关注疾病传播的基本动力学，还深入探讨了疫苗接种率和人口迁移率对感染趋势的影响，以及时滞参数在系统稳定性中的作用。

为开展这项研究，作者主要采用了以下几项关键技术方法：首先，构建了一个扩展的SIR模型（包含易感者S、无症状感染者A、有症状感染者I和接种者V四个仓室），并引入迁移率和疫苗接种参数；其次，利用Routh-Hurwitz准则和Lyapunov函数分析了无病平衡点的局部和全局稳定性；第三，通过非线性Volterra积分方程研究了地方病平衡点的渐近稳定性；第四，在确定性模型基础上加入随机扰动项，形成随机微分方程系统，以模拟感染率的随机波动；第五，应用长短期记忆网络（LSTM）对数学模型的输出进行训练，以预测感染人数随疫苗接种的变化；最后，建立了两个时滞系统（感染率时滞和疫苗接种相关率时滞），并利用Hopf分岔理论分析时滞对系统稳定性的影响。所有数值模拟均基于设定的参数（如总人口N=1000，初始值S=970, A=15, I=10, V=5），并使用Adam优化器和均方误差损失函数进行LSTM训练。

研究结果部分通过多个维度展示了模型的性能和分析结论。

II. THE DETERMINISTIC SYSTEM

研究人员首先建立了一个确定性仓室模型，将总人口分为S、A、I、V四类，并推导了基本再生数R₀的表达式。分析表明，当R₀ < 1时，无病平衡点（E_D）是局部和全局渐近稳定的；而当R₀ > 1时，地方病平衡点（E_E）存在且稳定，疾病会持续流行。这一结论通过Lyapunov方法和Volterra积分方程得到了严格证明，突出了模型在平衡点分析上的鲁棒性。

III. STOCHASTIC SYSTEM

在确定性模型基础上引入随机扰动（以参数σ表示感染率的波动）后，形成的随机系统（22）在小扰动下仍能保持无病平衡点的渐近稳定性，前提是满足特定条件（如R_{0 < 1/((ψ+μ+γA)A)）。数值模拟显示，随机系统的解围绕确定性系统波动，印证了随机因素在真实疫情中的影响，增强了模型的实用性。}

IV. DEEP LEARNING BASED PREDICTION

针对感染人数预测，研究采用LSTM网络对确定性系统和随机系统的输出（特别是I和V仓室数据）进行训练。LSTM模型配置了100个隐藏层，使用Adam优化器和平均绝对误差（MAE）损失函数，经过1000轮训练后，在预测I仓室人数方面表现出色，均方根误差（RMSE）分别为1.432（确定性数据）和2.376（随机数据）。结果表明，融合深度学习能有效捕捉时间序列中的长期依赖关系，提升预测精度。

V. THE DELAYED SYSTEM

时滞系统的分析分为两部分：一是感染率时滞系统（27），二是疫苗接种相关率时滞系统（31）。研究发现，当时滞参数τ超过临界值τ时，地方病平衡点会通过Hopf分岔失去稳定性，产生周期解（如感染人数出现波动）。数值模拟（图6）展示了不同τ值下I仓室人口的波动模式，例如在τ接近临界值时，波动范围扩大（-2000至2000例），表明时滞对疾病动态有显著影响。类似地，疫苗接种时滞系统（31）在τ₁ > τ₁时也会出现分岔，强调时滞在评估疫苗接种策略中的重要性。

VI. NUMERICAL SIMULATIONS

数值模拟部分通过多组图表验证了理论结果。例如，图1显示当R₀ < 1时，感染人数（A和I）趋近于零；而R₀ > 1时，感染人数持续存在。图2和图3表明，提高疫苗接种率（λ₁）或降低疫苗失败率（λ₂）能有效减少感染人数。图5分析了迁移率的影响，发现迁入率（M_I）增加会推高感染人数，而迁出率（M_O）增加则抑制传播。这些结果突出疫苗接种和人口流动控制在实际防控中的关键作用。

研究结论部分强调，该集成框架成功将确定性模型、随机扰动、深度学习和时滞分析相结合，为传染病动力学提供了更全面的建模工具。通过Lyapunov稳定性分析、Volterra积分方程和LSTM预测，模型不仅能准确描述疾病传播趋势，还能评估控制策略（如疫苗接种和迁移限制）的效果。时滞系统的分岔分析进一步揭示了时间延迟对系统稳定性的潜在风险，为政策制定提供了理论依据。这项研究的重要意义在于，它突破了传统模型的局限，为未来传染病预警和干预策略优化提供了可扩展的方法学基础，尤其在应对数据复杂性和不确定性方面展现出强大潜力。未来工作可探索时变参数模型以进一步提升对真实数据的拟合精度。