基于1-jet丛几何的常全纯截曲率凯勒度量局部分类新方法

《The Quarterly Journal of Mathematics》：Local classification of K¤hler metrics with constant holomorphic sectional curvature

本文编辑推荐：为解决常全纯截曲率(chsc)凯勒度量的局部分类问题，Martin de Borbon教授团队创新性地利用全纯函数1-jet丛的几何结构，构建了两种埃尔米特形式H和K，并证明其平坦性与chsc值的等价关系（κ=2对应H平坦，κ=-2对应K平坦）。该研究通过引入相对Fubini-Study形式和复双曲形式，给出了chsc凯勒度量分类定理的全新证明，为奇异凯勒几何研究提供了新范式。

　　

在复几何研究中，常全纯截曲率凯勒度量的局部分类问题一直是核心课题。经典结果由Bochner在实解析条件下首次证明，而光滑情形则依赖Cartan-Ambrose-Hicks定理。现有方法虽成熟但缺乏统一几何视角，特别是在处理锥奇异度量时存在局限。发表于《The Quarterly Journal of Mathematics》的这项研究，通过重构1-jet丛的几何框架，为该问题提供了优雅的新解法。

研究团队创新性地将全纯线丛L的1-jet丛J¹(L)作为几何载体，通过凯勒势φ诱导的埃尔米特度量h，构建了正定埃尔米特形式H（定义4.1）和符号(1,n)的埃尔米特形式K（定义4.4）。关键技术方法包括：利用陈联络构造jet丛的平滑分解；通过相对Fubini-Study形式（η_FS）和相对复双曲形式（η_CH）建立投影映射的商等距性质；运用正规坐标计算曲率张量的精确表达式。

2. GENERAL BACKGROUND

系统阐述了埃尔米特形式、凯勒度量及线丛曲率的基本理论。重点说明chsc的局部坐标表征（公式2.1-2.2），为后续曲率计算奠定基础。

3. RELATIVE FUBINI-STUDY FORM

通过射影丛P(E)的几何构造，将线丛嵌入问题转化为截面映射。引理3.2-3.3证明相对形式拉回与线丛曲率形式的等价关系，建立分类定理的几何桥梁。

4. HERMITIAN FORMS ON 1-JETS

核心创新点：定义H与K的显式表达式（公式4.2, 4.4）。示例4.3和4.6通过CP¹和单位圆盘的具体计算，验证构造与经典度量的相容性。

5. QUOTIENT ISOMETRY PROPERTY

发现射影丛的商等距特性（命题5.3）：截面σ拉回η_FS得到原始凯勒形式ω，该性质将全局几何问题转化为jet丛的平坦性判定。

6. CURVATURE

通过精细的正规坐标计算（公式6.4-6.10），证明关键结论（命题6.1）：H平坦当且仅当κ=2，K平坦当且仅当κ=-2。曲率张量的显式展开揭示chsc与埃尔米特形式曲率的深刻关联。

7. PROOF OF THEOREM 1.1

基于jet丛的平坦性，构造平行标架将P(E^*) trivialize为B×CPⁿ。通过全纯映射f=π₂°σ实现度量的拉回分类，最终完成定理1.1的几何证明。

本研究通过1-jet丛的几何构造，建立了凯勒度量与埃尔米特向量丛曲率的内在联系。方法创新体现在：一是将分析问题转化为jet丛的平坦性几何问题；二是统一处理正负曲率情形；三是为锥奇异度量的扩展研究奠定基础。该框架有望应用于特殊度量分类、奇点几何等前沿领域，彰显了复几何中分析方法与几何结构的深刻互动。