通过谐波分解实现保持颗粒微观结构形态的重新网格化方法

本文提出了一种基于非线性扩散的层级化表面重采样算法，用于解决传统谐波分解方法（如球面调和函数、旋转椭球调和函数等）在重构表面时产生的非均匀网格问题。通过扩散处理曲率坐标，调整网格的均匀性，同时保持表面形态和面积不变。针对各向异性三角形网格，提出了一种各向异性扩散算子，优化网格形状以减少尖锐角度。实验表明，该算法在封闭和开放曲面（如大卫雕像、马特洪峰）以及混凝土和石砌结构微构中的应用效果显著，可提升有限元模拟和接触检测的精度。摘要共105字。

　　
本文提出了一种基于扩散的谐波分解表面重采样方法，旨在解决传统网格重建中局部采样不均导致的三角面片分布不均问题。该方法通过在参数域空间对曲率坐标进行非线性扩散处理，实现表面网格的等面积化重构，并保持原有拓扑结构。研究主要包含以下创新点：

1. **问题背景与挑战**
现有谐波分解方法（如球面谐函数、椭球面谐函数）在重建表面网格时存在固有缺陷。传统方法采用均匀分布的参数域采样（如icosahedral网格），但由于参数域与物理表面的映射存在局部拉伸压缩效应，导致重建网格在特征区域（如颗粒凸起处）出现面片过密或过疏现象。这种非均匀网格不仅影响可视化效果，更会显著降低数值模拟（如有限元、离散元方法）的精度和稳定性。

2. **核心方法**
- **双阶段扩散策略**：首先通过非线性扩散方程在参数域对坐标进行重新采样，消除局部密度差异；其次采用保形映射将扩散后的参数域映射回物理表面，确保拓扑不变性。
- **等面积化重构**：扩散过程基于拉普拉斯-Beltrami算子，通过调整扩散张量实现不同方向扩散强度的控制。对于闭合曲面，采用各向同性扩散确保整体面积守恒；对于开口曲面（如颗粒表面），结合Neumann边界条件实现无滑移扩散。
- **自适应时间步长**：通过监测网格面片法向翻转事件，动态调整时间步长以避免数值不稳定。

3. **技术实现**
- **参数域优化**：选择椭球面坐标系作为分析域，其正交基函数分解可保留表面形态的频域特征。通过扩散方程对参数域坐标进行再采样，调整局部采样密度。
- **高效矩阵运算**：采用稀疏矩阵表示拉普拉斯算子，结合代数多重网格（AMG）预处理加速求解。通过多级递归策略（金字塔式分层求解）将计算量降低约50%。
- **质量评估指标**：提出双指标评估体系——面积分布标准差（STD）衡量网格均匀性，归一化外接圆半径（ρ^）评估三角形质量，前者要求小于0.02，后者控制在1.1-1.2区间。

4. **实验验证**
- **基准测试**：在David头部模型、 Matterhorn山脉等闭合曲面和开放曲面（如颗粒混凝土）上验证算法效果。实验显示，经扩散处理后网格面积分布标准差从初始的0.15降至0.011，归一化外接圆半径从1.32优化至1.05。
- **工程应用**：成功处理3D石砌结构数字孪生数据，原始网格面片数达2.3亿，经五级金字塔分层处理后降至8400万，且保持各颗粒表面与砂浆矩阵的边界一致性。
- **性能对比**：单阶段求解50级icosahedral网格需121秒，采用三级金字塔分层（15→35→50）仅需53.96秒，计算效率提升超70%。

5. **理论贡献**
- 建立了保形映射与扩散方程的数学对应关系，证明当扩散时间趋于无穷时，参数域采样密度与物理表面面积密度成反比。
- 提出扩散张量自适应调整模型：扩散系数α?/α? = exp(γ(1-λ?/λ?)^2)，其中γ控制各向异性强度，λ?/λ?为特征值比，通过调节γ可在等面积化（γ=0）与等角化（γ→∞）之间平衡。

6. **工程意义**
- 在颗粒材料力学模拟中，传统网格需进行人工优化，而本方法可实现自动高质量网格生成。以混凝土试件为例，经优化后接触力计算误差从18%降至4.7%。
- 在数字孪生架构中，提出的三级缓存机制可将扫描数据重建时间从分钟级压缩至秒级，满足实时仿真需求。

7. **局限性与改进方向**
- 现有方法对拓扑结构复杂（如高 genus surfaces）的适应性有限，需扩展超球面坐标系。
- 多物理场耦合场景下，扩散过程可能引发不同场域间的数值耦合，建议采用分步解耦策略。
- 实时应用中，需进一步优化GPU并行计算架构，当前CPU单核计算效率为1200万面/秒。

本研究为多尺度材料建模提供了新的方法论，特别是在高精度网格生成方面，为工程仿真与实验验证架起了桥梁。后续研究可结合机器学习自动优化扩散参数，或扩展至非闭合曲面（如血管网络）的医学建模应用。