用于MAP PET重建的通用预处理策略，基于泊松似然

PET图像重建中的泊松对数似然优化问题因条件数极低而收敛缓慢。本文提出一种混合对角-循环预条件器，将Hessian分解为对角和循环两部分，利用快速傅里叶变换实现循环部分的近似求逆。实验表明，该预条件器在梯度下降算法中使收敛迭代数减少至10次以内，较传统BSREM算法提升显著，尤其在冷背景区域（如脑室、背景组织）表现突出。研究还验证了在非负约束松弛后允许负像素的优化方法对收敛速度的影响。

　　
在医学成像领域，正电子发射断层扫描（PET）图像重建是关键环节，但其计算复杂度极高。传统方法常因高条件数的Hessian矩阵导致收敛速度慢。针对这一问题，本研究提出了一种结合对角与循环结构的预条件加速方法，显著提升了最大后验概率（MAP）重建效率。

### 1. 问题背景与挑战
PET图像重建基于Poisson统计模型，其优化目标为最小化负对数似然函数。然而，Poisson似然函数的曲率特性导致Hessian矩阵条件数极差（可达5个数量级），直接优化时迭代次数多且计算成本高。传统加速技术如分块序贯期望最大化（BSREM）和随机方差降低算法（SVR）虽有效，但存在收敛不稳定或对约束处理不灵活等问题。

### 2. 核心方法创新
#### 2.1 Hessian矩阵分解策略
将Hessian矩阵分解为对角矩阵（反映局部信息）与循环矩阵（捕获空间相关性）。其中：
- **对角项**：通过反向投影计算迭代中当前估计值的Hessian期望值，近似为对角矩阵的逆。该方法利用公式化简，将复杂矩阵运算转换为标量乘法，降低计算量。
- **循环项**：采用经过调整的二维低通滤波器（Ramp滤波器），通过傅里叶变换实现快速卷积运算。该滤波器设计借鉴了二维Radon变换的频域特性，有效抑制高频噪声。

#### 2.2 简化实现与约束处理
为避免非负约束带来的偏差，算法允许图像中出现负值（实际应用中取零处理）。通过调整梯度计算公式，在迭代中动态引入背景计数项，确保低对比度区域的稳定性。例如：
- **热区域**（高信号区域）：梯度计算与原始Poisson似然一致，直接优化。
- **冷区域**（低信号区域）：通过引入背景计数项`b_i`，梯度方向修正避免数值不稳定。

#### 2.3 梯度下降优化改进
结合共轭梯度下降（CGD）与预条件技术：
1. **预条件矩阵构造**：D（对角）×F?1（傅里叶逆）×T（滤波器）×F（傅里叶变换）×D。
2. **搜索方向更新**：每轮迭代计算预条件梯度，并通过Polak-Ribière动量因子自适应调整步长，提升收敛稳定性。
3. **步长估计优化**：结合前向投影与近似Hessian期望值，动态调整步长参数α_k，平衡收敛速度与稳定性。

### 3. 实验验证与性能对比
#### 3.1 数据集选择
测试集覆盖多种临床场景：
- **NEMA-IQ标准 phantom**：包含不同衰减系数和对比度的球状体。
- **HBP大脑 phantom**：模拟人类大脑灰质/白质分布，含复杂冷区域（如脑室）。
- **Vision-600 TOF扫描器数据**：测试高时间分辨率设备的适用性。
- **Thorax不规则 phantom**：包含多形态冷热目标，验证算法鲁棒性。

#### 3.2 性能指标
- **RMSE（均方根误差）**：定量评估重建精度，正常生理组织区域误差<2%，冷区域误差<5%。
- **VOI相对误差**：通过独立兴趣区（如肿瘤、脑室）对比，显示PCG算法误差下降速度比BSREM快3-5倍。

#### 3.3 关键结果分析
1. **收敛速度**：
- 在NEMA-Mediso数据集上，PCG算法仅需4次迭代（每次迭代包含前向/反向投影）即达到RMSE<1%，而BSREM需20次迭代。
- 对比传统梯度下降（PG）和仅用对角预条件（DCG），PCG的迭代次数减少70%-80%。

2. **冷区域处理**：
- 传统算法（如BSREM）在冷区域（如脑室）出现明显偏移，误差超过10%。
- 本方法通过动态梯度调整，冷区域误差稳定在<5%，且收敛速度一致。

3. **TOF设备适应性**：
- 在Vision-600高时间分辨率设备上，滤波器参数自动调整后，RMSE降低幅度达15%，验证了频域过滤的有效性。

#### 3.4 正则化强度影响
通过调节β参数（正则化权重）测试方法鲁棒性：
- **高β（β=5）**：优先平滑噪声，PCG算法在10次迭代内达到收敛。
- **低β（β=0.1）**：保留更多细节，PCG仍能保持<5次迭代收敛，且图像边缘清晰度优于传统方法。

### 4. 方法优势与局限
#### 4.1 主要优势
- **计算效率**：单次迭代仅需两次投影计算（前向+反向），硬件实现成本降低40%。
- **精度保持**：在冷区域（信号<1%事件数）仍能保持误差<5%，优于传统约束方法。
- **通用性**：支持三维扫描器，无需额外硬件适配，通过2D滤波器独立处理每个三维切片。

#### 4.2 局限性
- **滤波器设计**：当前二维滤波器对轴向（Z轴）响应有限，TOF设备使用时需优化频带宽度。
- **非负约束处理**：允许负值但未引入后处理修正，实际应用中仍需结合非负门限。
- **动态调整需求**：预条件矩阵的对角项需迭代更新，可能增加计算开销。

### 5. 应用前景与改进方向
#### 5.1 临床应用
- **肿瘤检测**：快速收敛特性可缩短动态PET扫描重建时间，提升病灶检测灵敏度。
- **功能成像**：在低计数场景（如脑血流量成像）中保持图像信噪比>30dB。

#### 5.2 技术优化方向
- **三维循环滤波器**：开发适用于三维数据的频域补偿算法。
- **自适应滤波强度**：根据当前迭代图像自动调整滤波器截止频率。
- **多模态融合**：与MRI解剖结构结合，优化PET重建的初始值设定。

### 6. 总结
本研究提出的预条件方法通过分离Hessian矩阵的空间关联性，显著提升MAP重建效率。实验证明，在多种PET扫描设备上，算法可将迭代次数压缩至传统方法的1/5，同时保持图像精度。该方法为解决PET重建中的计算瓶颈提供了新思路，尤其适用于低剂量扫描和实时成像场景。