基于临界点的稳定性分析：用于包含矢量和标量势的薛定谔方程的有限差分时域方法

《IEEE Journal on Multiscale and Multiphysics Computational Techniques》：Critical-Point-Based Stability Analyses of Finite-Difference Time-Domain Methods for Schr?dinger Equation Incorporating Vector and Scalar Potentials

有限差分时域（FDTD）方法在三维全空间中同时包含矢量和标量势的薛定谔方程的严格稳定性分析。通过临界点内外的局部与全局极值分析，推导出适用于两种势并保持非耗散特性的二阶FDTD新稳定性条件。对比现有方法，验证了新条件在复数形式更新和实虚部分交替更新两种方案中的普适性。数值实验证实新条件能有效指导量子电磁相互作用模拟，解决了传统方法仅处理标量势及低维问题的不足。

　　

摘要：

本文对包含矢量和标量势的薛定谔方程的有限差分时域（FDTD）方法进行了基于临界点的稳定性分析。以往大多数FDTD公式和稳定性分析仅考虑了标量势。另一方面，同时包含矢量和标量势的现有稳定性条件并未得到充分或严格的分析，因此它们不适用于一般情况。本文将对包含矢量和标量势的全三维（3D）薛定谔方程的FDTD方法进行严格的稳定性分析。基于内部和边界区域内的临界点，同时考虑所有变量的局部和全局极值，严格推导出了新的稳定性条件。本文考虑了两种FDTD方案：一种完全以复数形式更新，另一种则将实部和虚部分解并采用 leapfrog 方式更新。将新的稳定性条件与以往的研究结果进行比较，突出了其全面性、完整性和适用性。数值实验进一步验证了这些稳定性条件的正确性，并展示了它们在FDTD方法中的适用性。利用这些稳定性条件，FDTD方法可用于模拟涉及矢量和标量势的量子电磁相互作用。

引言

薛定谔方程在涉及纳米结构、半导体和量子器件等应用中至关重要。有限差分时域（FDTD）方法是求解薛定谔方程的常用方法之一，因为它具有鲁棒性和灵活性。在FDTD方法中，薛定谔方程可以完全以其复数形式离散化和更新[1]、[2]、[3]、[4]、[5]、[6]、[7]。或者，可以先将薛定谔方程分解为实部和虚部，然后以 leapfrog 或同步方式离散化和更新[8]、[9]、[10]、[11]、[12]、[13]、[14]、[15]、[16]、[17]。这种方案可能更高效，因为不再涉及复数运算。研究表明，在隐式FDTD方法中，将薛定谔方程分解为实部和虚部可以实现更高的效率[18]。在[19]、[20]中，通过在离散化之前使用虚时间变换将薛定谔方程转换为扩散方程，从而得到一种耗散方案。在[21]、[22]、[23]、[24]中也提出了其他更高阶的方案。在电磁学（EM）中，动态场同时涉及磁矢量势和电标量势。因此，电磁-量子相互作用通常需要将这两种势都纳入薛定谔方程中。然而，大多数FDTD公式[1]、[2]、[5]、[6]、[7]、[8]、[9]、[10]、[11]、[14]、[15]、[18]、[19]、[20]仅考虑了标量势。而且大多数公式仅适用于一维（1D）或二维（2D），而不适用于全三维（3D）。因此，我们的分析将专注于包含矢量和标量势的全三维薛定谔方程的非耗散、二阶FDTD方法。