应力相关渗透率非线性多孔弹性力学模型的全混合有限元方法：先验与后验误差分析

《IMA Journal of Numerical Analysis》：A priori and a posteriori error bounds for the fully mixed FEM formulation of poroelasticity with stress-dependent permeability

本文针对非线性多孔弹性力学中应力相关渗透率模型的数值分析难题，提出了一种基于Hellinger-Reissner原理的全混合有限元方法。通过重构本构方程，将渗透率表示为总应力和流体压力的函数，结合PEERSk单元和Raviart-Thomas单元，建立了具有严格质量守恒和平衡特性的离散格式。研究证明了格式在近不可压缩和零存储系数极限下的稳健性，推导了先验误差估计并构建了可靠高效的后验误差指示子，为生物软组织力学计算提供了理论保障。

　　

在多孔介质力学领域，描述流体与固体相互作用的Biot方程一直是研究热点。特别是在生物软组织（如软骨、脑组织等）的力学行为模拟中，渗透率会随着孔隙结构的变形而发生显著变化，形成典型的非线性耦合效应。传统数值方法在处理这种应力相关的非线性渗透率时，往往面临数学结构复杂和计算稳定性差的挑战。更棘手的是，当材料接近不可压缩状态或存储系数趋近于零时，常规离散格式容易产生非物理压力振荡，即所谓的"闭锁"现象。

为了突破这些技术瓶颈，Arbaz Khan等研究者在《IMA Journal of Numerical Analysis》上发表了创新性研究。他们通过巧妙的本构关系重构，将渗透率表示为总应力张量σ和流体压力p的函数，使得模型能够采用基于Hellinger-Reissner原理的混合变分形式。这一关键转变不仅避免了直接求解应变场，还天然地保证了数值格式在近不可压缩和零存储系数极限下的稳健性。

研究团队建立了包含五个未知量（应力σ、位移u、旋转ρ、流体通量φ、压力p）的耦合系统。该系统的数学结构被分解为一个鞍点问题、一个线性化扰动鞍点问题以及两个非对角线扰动项。通过Babu?ka-Brezzi理论和Banach不动点定理，研究人员严格证明了连续问题和离散问题的解的存在唯一性。在离散方案设计上，他们选用PEERS_k单元离散固体力学变量，Raviart-Thomas单元离散流体力学变量，这种组合确保了数值解同时满足局部平衡条件和质量守恒定律。

在误差分析方面，研究团队推导了最优阶的先验误差估计，并构建了完全可计算的后验误差指示子。通过Helmholtz分解、局部逆估计和气泡函数技术，他们证明了该误差指示子相对于自然范数是可靠且高效的。特别值得关注的是，所有误差常数均不依赖于Lamé参数λ和存储系数c₀，这意味着该方法能够有效避免泊松闭锁和孔隙弹性闭锁问题。

数值实验部分充分验证了理论结果。在二维和三维算例中，即使采用极端材料参数（如λ=10¹² Pa，c₀=10^-12），方法仍保持最优收敛阶。自适应网格 refinement 算例显示，基于后验误差指示子的自适应策略能够有效捕捉解在奇异性区域（如L形域凹角）的剧烈变化，显著提升计算效率。最后在脊髓组织压痕测试的生物力学应用中，方法成功模拟了异质多孔介质中的应力集中和流体迁移现象。

本研究的主要技术方法包括：基于Hellinger-Reissner原理的变分形式构造、PEERS_k-Raviart-Thomas混合元离散、Babu?ka-Brezzi理论框架下的适定性分析、不动点论证处理非线性耦合、残差型后验误差指示子设计与可靠性证明。数值实现采用FEniCS平台，非线性系统通过Newton-Raphson方法求解，线性子系统采用MUMPS直接法处理。

关键技术创新点体现在三个方面：

1. 1.
   通过将渗透率κ重构为κ(σ,p)的函数，首次实现了应力基非线性多孔弹性模型的混合元离散
2. 2.
   理论证明了格式在λ→∞和c₀→0极限情况下的参数稳健性
3. 3.
   构建的后验误差指示子Ξ同时控制固体和流体子系统的误差分量

数值实验结果表明：

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  二维光滑解测试中，PEERS_k单元达到k+1阶最优收敛
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  三维物理参数算例验证了方法在生物软组织参数范围内的有效性
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  L形域自适应计算显示后验指示子能准确识别奇异性区域
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  脊髓压痕模拟揭示了异质多孔介质中的复杂耦合现象

本研究建立的数学理论和数值方法为软组织生物力学、地质岩土工程等领域的多物理场耦合问题提供了强有力的计算工具。其参数稳健特性特别适用于生物组织这类近乎不可压缩材料的模拟，而后验误差估计技术则为复杂几何问题的自适应计算奠定了理论基础。这项工作不仅推进了非线性多孔弹性力学的数值分析前沿，也为相关领域的科学计算提供了可借鉴的方法学框架。