一种基于新颖度量方法的各向异性网格自适应算法，适用于三维周期性域

提出了一种基于度量无约束各向异性网格适应的三维周期性网格生成算法3DPAMA。该算法通过四步流程实现：非周期初始自适应网格生成、内外部分离、周期边界局部调整、全局网格组装。在多种几何形状和度量场（包括解析度量、Hessian误差估计和ZZ恢复误差估计）的测试案例中，验证了该算法的有效性，生成了符合周期性约束且各向异性分布合理的高质量网格。

　　
本文提出了一种新型周期各向异性网格自适应算法，命名为3DPAMA，适用于三维周期性域的离散化。该算法基于严格的数学假设，结合现有无约束各向异性网格自适应技术，通过局部调整边界元素实现周期性网格的自动生成。其核心流程包含四个阶段：非周期性初始自适应、内外部分离、边界周期性调整和最终网格组装。通过大量数值测试案例验证，该算法在保持高网格质量的同时，成功解决了复杂几何、多尺度特征及动态边界条件下的周期性网格生成难题。

### 1. 引言
随着计算流体力学、燃烧学、传热传质及结构力学等领域的快速发展，基于偏微分方程（PDEs）的数值模拟对网格质量的依赖性日益增强。传统网格自适应技术（如h-, r-, p-及hp-自适应）虽能有效优化计算效率，但在处理周期性边界条件时仍面临显著挑战。各向异性网格自适应通过引入方向敏感的度量场（metric field），可显著提升复杂物理现象（如多尺度特征、边界层、激波等）的离散精度。然而，现有方法多专注于非周期性域，或通过几何变换牺牲周期性约束，导致实际应用受限。

本文提出的三维周期各向异性网格自适应算法（3DPAMA）通过以下创新点解决了上述问题：
1. **周期性约束的全局整合**：在网格自适应的早期阶段即考虑周期性边界条件，避免后期手动调整。
2. **分层处理策略**：将周期性域分解为内部非周期域与外部周期性边界，分别处理以降低复杂度。
3. **最小化边界操作**：仅需对周期性边界进行局部调整，而非全局重新生成网格，确保计算效率。

### 2. 方法论
#### 2.1 周期性网格自适应的数学框架
考虑三维周期域Ω，其边界Γ分解为周期性边界Γ_P和非周期性边界Γ_?。周期性边界由若干对匹配的边界面（S_i, S_j）组成，通过周期映射Θ_i将S_i的离散化转换为S_j的对应网格。度量场M_in定义在支撑网格T_0上，通过谱分解可唯一确定元素形状、大小及方向。

#### 2.2 四阶段算法流程
1. **非周期性初始自适应**（Phase 1）
- 输入支撑网格T_0和度量场M_in，通过标准无约束各向异性网格生成技术（如mmg3d）生成初步自适应网格T_adapt。
- 该阶段忽略周期性约束，仅根据度量场优化元素形状和密度分布。

2. **网格分割**（Phase 2）
- 将T_adapt分割为内部网格T_int（不接触周期性边界）和外部网格T_ext（包含周期性边界）。
- 通过共享周期性边界面的顶点、边和面实现内外网格的精准对接。

3. **边界周期性调整**（Phase 3）
- 针对T_ext，提取参考边界面S_ref和对应线性网格L_ij。
- 通过周期映射Θ_i和Θ_j调整S_ref的顶点坐标，生成匹配的周期性线性网格L_P。
- 利用Θ_i将L_ref映射到所有周期性边界面，确保拓扑一致性。

4. **周期性网格组装**（Phase 4）
- 将T_int与调整后的周期性外部网格T_ext通过共享边界合并，形成完全周期性的网格T_P adapt。
- 验证周期性约束（如顶点、边、面的严格对应），确保网格生成质量。

#### 2.3 关键技术实现
- **度量场计算**：支持解析函数（如均匀各向异性度量）、Hessian误差估计（基于离散Hessian矩阵）及ZZ型恢复误差估计（结合梯度局部化）。
- **周期映射优化**：采用刚性平移映射Θ_i，避免复杂几何变换导致的网格扭曲。
- **质量评估指标**：元素形状因子Q（Q=1为正则四面体）、边长标准化值?（基于度量场归一化）。

### 3. 数值验证
#### 3.1 分析性度量场测试
- **案例1**：采用均匀各向异性度量（M_in=diag(1/h2,1/h2,1/h2)），初始网格T_0由4个体积单元构成。
- **结果**：经10次迭代自适应后，生成周期网格T_P adapt包含13,463个四面体，所有周期边界面顶点、边、面严格匹配，Q>0.12且97.4%元素满足质量要求。

#### 3.2 Hessian误差估计测试
- **案例2**：基于Hessian误差估计的ZZ型改进方法，在倾斜棱柱域（Ω=[0,2]×[0,1]×[0,1]）上施加周期性条件。
- **结果**：周期网格T_P adapt包含131,863个单元，质量因子Q_avg=0.6211，边长标准化值?_avg=0.8211，与理论误差收敛速率一致（L2误差每迭代降低约50%）。

#### 3.3 复杂几何测试
- **案例3**：周期性Lego砖结构，通过位移函数T(x,y,z)=[x+z,y,z]生成倾斜域。
- **结果**：周期网格自动适应位移后的几何形态，边界匹配误差<0.1%，单元数量较非周期网格减少15%。

- **案例4**：同心球域，内部半径1/3，外部半径1，周期性映射沿径向（r→r±2）。
- **结果**：周期网格T_P adapt包含787,296个单元，内部球面附近单元数量增加3倍，但边界处理效率提升40%。

#### 3.4 动态耦合问题验证
- **案例5**：时间依赖的热传导方程?u/?t=Δu，周期性边界条件施加于z=0和z=1平面。
- **结果**：通过动态调用3DPAMA生成自适应网格，时间步长Δt=0.02时，L2误差<0.5%，网格元素数在194,800至259,335间动态调整，显著降低计算成本。

### 4. 结论与展望
#### 4.1 主要贡献
- **理论创新**：首次将周期性约束内置于网格自适应流程，避免传统方法中需牺牲网格质量或几何保真度。
- **技术突破**：提出分层处理策略（内外网格分离）、最小化边界操作（仅调整共享边界局部顶点）及动态映射优化算法。
- **工程适用性**：与FreeFEM、mmg3d等开源工具无缝集成，支持复杂几何（如Lego砖、同心球）和动态问题（如热传导）。

#### 4.2 局限与改进方向
- **计算复杂度**：当前算法对大规模网格（>10^6单元）处理效率待优化，需并行化实现。
- **映射泛化性**：现有映射基于刚性平移，难以处理非线性变形域，需引入仿射变换或曲率补偿。
- **扩展应用**：计划将算法推广至壳体、纤维增强复合材料等工程场景，并开发可视化接口。

#### 4.3 实际应用价值
- **多物理场耦合**：已成功应用于流固耦合问题，在周期性涡轮机械叶片仿真中，计算效率提升30%。
- **工业标准化**：与ANSYS、COMSOL等商业软件接口开发中，重点解决周期性边界条件自动同步问题。

### 5. 致谢
本研究由Giacomo Speroni和Nicola Ferro共同完成，前者负责算法设计与数值实现，后者主导误差分析和工程验证。感谢米兰理工大学数学系计算几何实验室（MOX）提供算力支持，以及FreeFEM社区对算法工具包的持续优化。