针对具有比例型和混合型时变延迟的四元数值神经网络，改进了稳定性分析方法

《Mathematics and Computers in Simulation》：Improved stability analysis for quaternion-valued neural networks with proportional and mixed time-varying delays

四元值神经网络在混合时间变延迟和比例延迟下的全局渐近稳定性研究，采用Lyapunov-Krasovskii函数与线性矩阵不等式方法直接分析未分解的QVNN模型，提升计算效率并保持代数结构优势。

　　
quaternion-valued神经网络（QVNNs）的稳定性分析在混合时间变延迟与比例延迟场景下展开。研究采用统一视角处理QVNNs，而非将其拆解为复值或实值神经网络，以保持四元数代数结构的完整性和计算优势。通过构建自由权重矩阵的Lyapunov-Krasovskii泛函（LKF），结合线性矩阵不等式（LMI）方法，推导出全局渐近稳定的充分条件。该方法在理论层面实现了对非微分型时间延迟的兼容，在应用层面通过统一框架避免了传统分解方法带来的维度膨胀问题。

研究背景方面，神经网络在模式识别、信号处理等领域的广泛应用推动了理论发展。四元值神经网络作为超复数领域的延伸，在三维/四维数据处理中展现出计算效率优势，但非交换性代数结构导致稳定性分析复杂度显著提升。当前研究多局限于实值或复值网络，或采用分解策略处理四元值网络，这不仅增加了计算复杂度，还可能丢失四元数特有的代数优势。

时间延迟机制方面，研究重点突破传统单延迟假设，引入混合时间变延迟与比例延迟的组合模型。其中，比例延迟通过时间变量的线性函数描述，具有更宽泛的实际应用场景，如网络路由决策、生物物理系统建模等。混合延迟结构同时包含随机波动的时间变延迟和严格比例约束，更贴近真实工业系统中的时滞特性。现有文献主要针对固定延迟或单一类型时滞，对复合时滞系统的处理存在空白。

理论方法创新体现在三方面：首先，建立适用于四元值系统的Lyapunov-Krasovskii函数框架，通过引入五组对角权重矩阵平衡系统各分量的动态特性；其次，开发基于四元数LMI的稳定性判据，相比复值系统降维约30%-40%，同时保持矩阵不等式解的可行性；最后，构建非分解型分析范式，完整保留四元数代数结构，避免传统方法中因维度扩张导致的计算瓶颈。

在数值验证部分，研究选取二维四元值网络进行仿真。通过设置参数矩阵D、A、B、C的具体数值，以及包含离散延迟和连续混合延迟的输入信号，系统轨迹响应如图1所示。仿真结果验证了当参数满足所提LMI条件时，网络输出能快速收敛至零状态，同时证明四元数框架在处理高维数据时较传统复数模型减少约22%的计算量。特别值得关注的是，当时间延迟存在非微分性突变时，四元数系统的稳定性仍能得到有效保证。

研究突破传统方法对时滞连续性的要求，提出更宽松的时滞条件假设。通过分析四元数系统的H范数特性，建立时滞上界与权重矩阵之间的非线性关系式，最终将稳定性条件表述为可求解的线性矩阵不等式组。这种处理方式使模型能够适应多种实际场景中的时滞变化，如通信网络中的动态路由延迟、工业控制系统中的信号传输延迟等。

在应用价值方面，研究为四元值神经网络在航天器姿态控制、三维图形压缩、生物特征识别等领域的实际部署提供了理论支撑。例如，在航天器姿态控制系统中，四元值网络可有效处理三维空间中的旋转数据，而混合延迟模型能准确反映卫星通信链路中的时滞特性。研究还提出未来可拓展方向，包括将比例延迟机制引入深度学习模型，或开发面向四元值神经网络的分布式训练算法。

研究局限与展望部分指出，当前模型主要面向离散时间系统，后续工作将探索连续时间系统的应用。此外，四元数网络的可解释性仍待提升，未来可通过引入几何解释框架或结合图神经网络方法增强模型透明度。在计算工具方面，建议开发专用四元数LMI求解器，以提升大规模网络的分析效率。

该研究在超复数神经网络理论体系中具有重要地位。通过构建非分解型分析框架，首次系统性地解决了混合时滞条件下四元值神经网络的稳定性问题。理论推导与数值实验的相互印证，不仅验证了四元数表示法的计算优势，更为后续研究多值神经网络（如八元数、双四元数等）的稳定性分析提供了方法论参考。研究成果已获得国家自然科学基金、江苏省自然科学基金等项目的资助，相关代码与数据集已通过开源平台共享，为后续研究奠定基础。

研究意义体现在三个方面：其一，理论层面填补了混合时滞四元值神经网络稳定性分析的空白；其二，方法层面创新性地采用四元数LMI统一处理代数结构，避免传统分解方法带来的维度灾难；其三，应用层面为高维数据处理场景提供了新的技术路径。特别在工业4.0和智能制造领域，四元值网络在处理多传感器融合数据、机器人姿态估计等任务中具有显著优势，该研究的理论突破可直接指导相关工程实践。

在技术细节方面，研究提出的多层四元值网络模型包含输入层、隐藏层和输出层，各层节点通过四元数权重连接。时滞项被统一嵌入网络传输函数中，比例延迟系数与时间变量呈线性关系，而混合延迟部分则包含随机抖动和固定偏移的组合效应。通过建立四元数形式的LKF，其能量函数被分解为实部与三个虚部分量，分别对应四元数的实、虚、恰得单位（i）、纯单位（j）、纯单位（k）分量。这种分解方式既保持了四元数代数结构的完整性，又使得能量函数的导数计算可沿用实值系统的常规方法。

研究还创新性地引入四元数共轭运算与转置运算的联合约束条件，使得权重矩阵的优化过程同时满足代数封闭性和数值稳定性要求。通过对比实验发现，在相同网络规模下，四元数LMI方法的计算复杂度较复值系统降低约35%，但保留了四元数系统对三维空间旋转数据的自然表达优势。这种计算效率与表达能力之间的平衡，为工程应用提供了可行性保障。

在工业应用场景方面，研究特别关注时滞敏感型系统。例如在电力系统暂态稳定分析中，四元值网络可有效处理同步电机转子角度的多维状态观测，而混合延迟模型能准确反映电网通信中的时延变化特性。仿真结果证明，当网络输入存在0.2-0.8秒的非均匀时滞时，四元值网络仍能保持指数衰减的稳定性，而传统复值网络在此条件下的稳定性边界被显著压缩。

研究还提出新的稳定性边界定义方法，通过分析四元数系统的范数特性，建立时滞上界与网络参数之间的二次函数关系式。这种关系式不仅能够指导网络参数的优化配置，还可为时滞容错控制系统的设计提供理论依据。特别在航空航天领域，该成果有助于开发具有更强抗干扰能力的四元值神经网络控制系统。

在工程实现方面，研究团队开发了基于MATLAB的QVNN仿真工具包，支持用户自定义时滞函数和四元数权重参数。测试案例显示，当网络规模达到500节点时，四元数LMI方法的计算效率仍比复值系统高28%，且误差率低于0.5%。这种高效稳定的特性使得四元值神经网络在实时性要求较高的工业场景中具有实用价值。

未来研究方向包括扩展至八元值网络、开发四元数激活函数、研究分布式四元值神经网络的同步性问题等。研究团队计划与工业界合作，在智能制造、自动驾驶等具体场景中验证理论成果，并推动相关算法的工程化落地。特别值得关注的是，四元数网络在处理多模态传感器数据时，能够有效融合不同时滞特性的信息流，这对复杂工业系统的状态估计具有重要参考价值。

该研究为超复数神经网络的理论发展提供了重要范例，其方法体系可推广至其他非线性代数结构（如Clifford代数）的稳定性分析。通过建立四元数系统的统一分析框架，研究不仅解决了当前文献中的关键难题，更为未来多值神经网络的统一建模奠定了基础。在计算科学领域，这种理论创新与工程实践的结合模式，为人工智能基础理论的研究提供了新的范式参考。