分析分数理解中的错误类型：数轴测试

《Journal of Experimental Child Psychology》：Characterizing error types in the comprehension of fractions: The number line test

分数理解与数轴任务中的错误模式研究：法国学生从六年级到十年级的数轴测试显示，尽管课程要求掌握分数，但学生普遍存在高错误率（六年级平均79%）。错误可分为七类模式，包括将分数误读为十进制（如1/2答成1.2）、分子分母颠倒（如3/6答成2）、数轴单位分割错误等。研究提出两种策略模型：转换策略（将分数转为十进制）和分割策略（将数轴按分母分割）。错误源于策略执行中的bug，如步骤顺序错误或计算错误。结果显示，随着年级升高，十进制误读减少，但分子分母颠倒错误增加，表明高级学生更依赖复杂策略但易出现执行错误。教育路径差异（如普通、职业、应用类高中）进一步影响错误模式分布。该研究为分数教学提供诊断工具，揭示错误类型与认知策略的关系。

　　理解分数对于许多学生来说是一项重大挑战。分数理解的核心之一是评估其数值大小，而这一能力在学生的数学学习过程中往往表现得不够理想。本研究通过一种“数字到数轴”的任务，分析了法国学生在将分数放置到数轴上的错误模式，结果显示，从6年级到10年级的学生中，错误率高达80%（6年级）和45%（10年级）。这些错误可以归类为七种主要模式，它们的频率因年级和个体表现而异。年幼或表现较差的学生通常会混淆分数与小数，而年长或表现较好的学生则更可能混淆一个分数与其倒数。此外，所有年级的学生都存在对分子和分母角色的误解。我们提出了一种理论框架，认为这些错误源于两种主要策略中的执行错误：一种是将分数转换为小数，另一种是将数轴划分为单位并进行计数。该模型解释了观察到的错误模式，这些错误可能源于不恰当的策略选择、执行错误或由于错误执行导致的纠正步骤失误。我们的分析为理解学生在解读分数大小时所面临的各种陷阱提供了更深入的视角，揭示了这些错误的频率及其出现顺序。

分数作为数学学习中的关键概念，其理解对学生的后续学习至关重要。研究表明，即使在长期练习之后，许多学生仍然无法正确完成一些基本的分数任务。例如，希腊学生在9年级时，仍有42%无法正确排列分数1/7、5/6、1和4/3。美国8年级学生的分数计算错误率高达43%。在芬兰，7年级学生中有50%无法将3/4放置在0到1之间的数轴上。这些困难通常归因于学生对分数概念缺乏深层次的理解，或者仅仅是表面化的掌握。例如，学生可能通过简单的记忆特定操作步骤来完成学校测试，而并不真正理解其背后的数学原理。Braithwaite和Siegler甚至提出，儿童在算术任务中的行为可以通过一个仅依赖教材练习的纯程序性模型来复制。因此，判断一个学生是否真正理解分数的意义仍然是一个挑战。

数轴的隐喻为解释和表示分数的大小提供了一个直接的方式。每个数值都可以被赋予数轴上的一个位置，这使得分数与整数的整合成为可能。因此，数轴任务被广泛用于研究数字理解，包括分数的理解。与其它任务相比，数轴任务往往更难，因此更能够揭示学生在理解上的深层次困难。例如，在一个4年级学生的样本中，几乎所有学生都能将矩形或圆形的2/3或3/4部分着色，但只有大约三分之一的学生能够将这些分数放置在数轴上，即使数轴也被划分了。数轴上的刻度位置似乎对学生的成绩有重要影响。特别是，当刻度与分数的分母不匹配时，学生更容易犯错。他们也容易混淆数轴的边界，例如当数轴的边界不与0到1段对齐时。

这些观察结果强调了某些分数知识方面对学习者的具体挑战。然而，据我们所知，还没有研究对这些错误进行系统的分析。Hannula（2003）曾要求7年级学生将3/4放置在标有0和1的数轴上，并注意到一些学生会将这个分数误认为3.4，或者计算0到1之间的间隔三次（从而回答3），或者将分数放置在数轴的整个长度的3/4处，而不是0到1的区间。这些只是示例性的观察，而且只询问了学生关于3/4的问题，这限制了这些发现的普遍性。Bright等（1988）则通过数轴任务评估干预措施的效果，他们发现一些错误可以通过学生将整个数轴视为单位、用刻度代替间隔来计算单位被分割的次数，或者指向目标分数的倒数来解释。然而，样本量有限，只有八名儿童参与。

基于这些背景研究，本研究的目标是通过一个代表性的法国学生样本，分析他们在将分数放置在数轴上的错误，并评估这一任务在诊断学生对分数大小理解方面的能力。为此，我们利用了法国的年度国家评估（Groupe de travail du Csen, 2019）。在与法国教育部评估部门（DEPP）的合作下，我们获得了约26,000名6年级至10年级学生的计算机化数轴任务数据。这些学生被要求将五个分数放置在数轴上的正确位置，而所有分数都对应于数轴上的已有刻度，学生只能选择这些刻度中的一个，从而能够准确确定他们的意图。这一任务是法国4年级课程的一部分，该课程规定分数应在4年级和5年级学习，并在6年级巩固。尽管有这些明确的指导，但我们的研究结果表明，所有年级的学生都表现出较高的错误率，揭示了几种常见的错误模式：混淆小数、混淆带分数、误数刻度、将数轴视为单位，以及倒置目标分数。

在实验1中，我们介绍了计算机化的数轴任务，并描述了5707名法国6年级学生在放置分数时的错误情况。实验采用了一种已有的国家评估系统，学生们通过鼠标操作完成任务。目标数字以标准数学符号显示，并在屏幕中央的黄色矩形上呈现，附有类似标志的钉子。学生有10秒的时间将标志拖动到数轴上的某个位置，使钉子与他们估计的数字位置对齐。一旦放置，标志会自动吸附到最近的刻度，提供一个小的误差范围（试点研究显示这提高了参与者的整体准确性）。学生放置后不能移动他们的答案。立即给予反馈，告知他们的答案是否正确，并在错误时显示正确答案。

参与者的实验包括两个随机顺序的块，每个块使用不同的数轴，分别从0到5和0到20。两个数轴都包含三个层次的刻度，刻度高度和厚度逐渐减小：主要刻度、中间刻度和次要刻度。主要刻度上带有数值标签。0到20的数轴用于测试整数及其算术（例如，放置6+7），但我们将主要关注分数。另一个数轴从0到5，是十进制刻度的，如图1所示。学生在每个块开始时通过一个训练任务熟悉数轴，他们被要求放置数字“5”。对于这个训练任务的数据，我们未将其纳入分析。

目标刺激物的选择基于两个约束条件。实验需要评估儿童对各种数字和运算的熟练程度（尽管我们只报告了分数），但会话必须保持相对较短，以减少疲劳，尤其是因为儿童在国家评估期间还要进行其他测试。因此，准备了10个部分重叠的目标列表，每个参与者随机分配到一个列表。列表总共覆盖了11个类别，每个类别包含五个目标，因此每个参与者有55次测试任务。前五个类别仅涉及整数和0到20数轴块中使用的运算。在这些块中，出现了五个整数，用作参与者的任务理解控制。其余六个类别出现在0到5数轴块中，随机顺序。其中一个类别仅涉及整数，和0到20数轴块一样，作为任务理解的控制。其他类别围绕有理数展开：小数（用逗号表示，例如“3,6”）；小数系统运算（例如“3+0.6”或“0.6+3”）；小数计算（例如“2.6-1.5”）；分数；以及分数计算（例如分数与相同分母的分数或整数相加减）。所有分数都是垂直书写的，例如3/6。完整的刺激列表见补充表S1。

我们选择了21个唯一的分数，分布在四个类别中。第一类是形式为n/1的分数（如2/1、3/1、4/1、5/1）。第二类是其他等于整数的分数（如4/2、6/2、8/2、10/2、6/3、9/3、8/4、10/5）。第三类是十进制分数（如1/10、2/10、3/10、4/10、5/10），第四类是等于1/2的分数（如1/2、2/4、3/6、4/8）。请注意，5/10也可以归入等于1/2的类别，我们将其归类为十进制分数，以获得非重叠的集合，因为分母10比等于1/2的等价性更显著。

为了验证我们的程序是否足够稳健，我们通过整数和小数目标的数据来分析儿童的错误。大多数儿童能够正确放置这些数字（一个儿童平均在整数上犯4%的错误，在小数上犯13%的错误）。由于儿童被分配到不同的刺激列表中，我们还确认了所有组别的反应相似性。每个分数至少出现在两个组别中，响应之间的平均相关性高达0.97。因此，我们合并了所有组别的响应进行后续分析。除非另有说明，所有涉及多个分数的分析都是在每个分数上对儿童进行平均后计算的。虽然这减少了统计数据的总数，但允许我们调整统计功效，以考虑儿童仅测试了21个分数的事实。

我们还观察到，对于每个目标，错误并不均匀分布（最小χ2(49)=3595.43，所有p<0.001；p值已进行多重比较的FDR校正）。这一结果在去除整数后仍然成立（最小χ2(43)=584.42；所有p<0.001），表明它不能用整数作为吸引点来解释。总体而言，响应集中在有限的位置上，对于每个目标，平均有50%的错误落在3.05个特定位置上。我们还确认，大多数错误并非仅由准确放置分数的困难引起。如果错误仅由准确放置引起，那么错误将主要出现在正确答案相邻的位置，但这种错误非常罕见：在所有刺激物中，中位数落在正确答案前一个刻度上的比例为0.76%；落在正确答案后一个刻度上的比例为0.75%（计算时排除了答案为5的情况，因为5是数轴的终点）。

为了确认上述模式准确捕捉了大多数儿童的反应，我们在图5的第一部分绘制了每个目标分数的响应密度。结合我们的模式，平均可以解释48%至89%之间的错误。

当不确定时，参与者可能会随机选择数轴上的位置，可能偏向整数。因此，必须证明每个错误模式的发生频率高于随机。为此，我们专注于那些可以被特定错误模式明确解释的响应。对于每个模式，我们排除了那些由其他模式预测的响应，以避免人为地提高某个模式的响应数量。表格2显示了每个模式在所有分数中的平均响应比例。这些比例在模式之间差异很大：一些模式平均解释了约20%的响应（正确响应、小数阅读、计数单位），而其他模式仅解释了少数百分比（例如小数阅读重复）。然而，需要注意的是，随机水平通常非常低。如果参与者只是随机作答，我们预计只有大约2%的响应会落在任何特定位置，因为数轴上有51个可能的位置。对于某些位置，随机水平可能更低，如果参与者默认避免这些位置（或偏好其他位置）。每个模式的统计显著性测试细节见补充材料。总体而言，我们发现所有模式在至少一部分分数目标上都有显著表现。三种特定的响应模式（相对于数轴、计数单位、小数阅读）的结果见图5的最后面板。

如前所述，我们观察到两种模式在行为上表现出相似性，唯一的区别是它们对分子和分母角色的处理方式。换句话说，儿童可能应用两种变体，取决于他们对两个成分的分配。但为什么会出现倒置呢？我们的第一个假设是这些错误源于一种与刺激无关的编码水平：一些参与者并不理解分子和分母的作用，无论刺激如何，都有一定的概率倒置它们的角色。然而，这一假设可以被拒绝，因为倒置错误会根据目标分数而变化。为了验证这一点，我们测量了配对变体的相对频率，并测试了观察到的对变体的偏倚是否在不同分数之间有所不同。这一分析需要两个变体都预测出落在0到5数轴上的十进制刻度。再次，我们排除了那些由多个模式预测的响应，以确保结果的稳健性。结果，两种模式（计数单位和相对）没有有效的目标，因此无法进行分析。对于所有其他模式，我们观察到在不同分数之间存在不同的偏倚（正确/倒置：χ2(3)=128.00，p<0.001；计数十分之一：χ2(13)=156.65，p<0.001；小数阅读重复：χ2(5)=40.13，p<0.001；混合分数阅读：χ2(1)=79.15，p<0.001）。例如，那些对一个成分进行除法的儿童（正确或倒置）在6/3和8/4上的正确顺序使用频率高于在3/6和4/8上的频率。这里，儿童可能考虑除法的难度，当结果更简单时，他们会交换操作数。唯一没有观察到差异的模式是小数模式（χ2(5)=5.90，p=0.32）。

总体而言，这些结果表明了错误的层次结构：一些错误随着学年而消失（如小数阅读错误），而另一些则变得更加频繁（如倒置错误）。这种演变与我们的模型框架一致：错误源于学生逐渐完善和数学接触的程序性缺陷。然而，年级可能只是对这一完善程度的间接估计。我们的后续分析旨在区分这两个因素：年级和实际的分数表现。对于四种模式（倒置、相对、计数单位和小数阅读），我们在图10中报告了它们在每个年级中解释错误的比例。为了理解这些模式如何随着年龄而演变，我们对每个模式进行了线性回归，以年级为变量，计算该模式解释的错误比例。虽然每个年级都有代表性样本，但10年级的学生（特别是优秀表现者）在样本中代表性不足。为了弥补这一点，我们根据2022年的学生分布对10年级的样本进行了加权（10年级：69.8%；专业10年级：22.7%；应用10年级：7.5%）。只有倒置错误（F(1, 48)=19.85，p<0.001，R2=0.29）和小数阅读错误（F(1, 93)=59.43，p<0.001，R2=0.39）在年龄上存在显著差异：作为错误比例的一部分，年长的学生更多地出现倒置错误（β=0.04，t(48)=4.46），但较少出现小数阅读错误（β=?0.04，t(48)=?7.70）。我们还调查了三种10年级课程在模式使用上的差异。我们使用配对t检验，对所有模式进行比较。总体而言，教育路径的结果与年龄结果一致：10年级的普通学生比专业学生更容易出现倒置错误（t(10)=4.98，p<0.001），而专业学生又比应用学生更容易出现倒置错误（t(10)=5.10，p<0.001）。普通学生比应用学生更少出现小数阅读错误（t(19)=?6.92，p<0.001）。没有观察到计数单位错误的差异（t(18)=?0.70，p=0.49）。所有p值在模式和比较中进行了FDR校正。

类似地，8年级和10年级的学生在任务中的表现也很差。甚至在10年级的最优学生群体中，仍有45%的错误率，这与法国课程中假设在6年级时学生已经完全掌握分数大小的预期相悖。此外，10年级应用和专业学生的表现与6年级和8年级学生相似。总体而言，8年级和10年级学生犯的错误类型与6年级学生相似，但频率有所变化，这使我们能够勾勒出分数大小理解的潜在发展轨迹。小数阅读错误，即6年级最普遍的错误，随着年级和表现的提高而减少。这与我们的观点一致，即这些错误源于一种原始的回退程序：随着学生对分数的熟悉度提高，他们丰富了自己的策略工具箱，不再依赖于发明的策略。而那些增加的错误则揭示了这些新获得的策略可能是什么。计数单位错误，即在8年级更普遍的错误，对应于策略的转变：学生尝试划分数轴，但未能确定正确的划分大小（应该是1除以分母），最终导致计数刻度。尽管这种程序未能正确考虑分母的作用，但当分母与刻度匹配时，它可能模仿正确的程序。随着学生开始认识到分母的作用，他们应该逐渐远离这种程序，这解释了其频率的倒置U型演变。从那里，学生可能达到第三层次的理解，其中错误现在考虑了分数所表达的正确比例。如果学生继续使用数轴划分策略，他们可能只是误解了分数作为数轴比例的意义，从而触发了相对错误（例如，将1/2放置在0到5数轴的中间，作为数轴的一半）。然而，这种错误仍然罕见，而倒置错误则在10年级的普通学生中变得主导。这表明学生能够检索到两个成分之间的正确比率，很可能是通过除法，但没有考虑到它们的顺序，可能是由于注意力不足，或者无法正确执行除法而导致倒置。

值得注意的是，三种层级的结构在年级内和年级间都被观察到，这在很大程度上是由个体表现的差异驱动的。这表明，尽管有标准化的国家课程，法国教育体系在将学生按年级水平对齐方面仍面临挑战。未来，对如爱沙尼亚、葡萄牙或新加坡等国家的同类型测试可能有助于了解这些教育体系在不同年级水平上取得的成果。

尽管本研究提供了对错误模式的详细分析，但仍有许多问题未被解答。首先，尽管我们的模型与数据一致，但它是假设性的。需要进一步测试来探索其有效性。特别是，我们的任务仅提供了从0到5的数轴，且学生的答案仅限于0.1的刻度。这可能影响了儿童的策略选择，例如当学生无法将6/3放置在6.3的位置（这是小数错误模式的预测），而数轴停止在5时。测试儿童在不同数轴、新目标或使用更少限制的任务上的行为，将有助于确认我们提出的模型。

此外，我们没有探索我们描述的策略之外的替代方案。例如，学生可能应用另一种数轴划分策略，即识别单位，将其计数为分子的次数，然后将结果划分为分母的次数，从而执行我们描述的程序。这种程序，虽然在我们的样本中无法单独识别，但可能对应于分数的除法意义（例如，面对5/2时，将5分割为2）。同样，数轴可能被划分成多个步骤：Fitzsimmons等（2020）在估计任务中的自述表明，成年人有时会先将数轴划分为一半，然后再将这些一半进一步划分为三份以得到六分之一（Fitzsimmons等将其称为“一半参考”策略），而不是直接将数-axis 分为6份（这将对应于他们的“分母”策略）。

更广泛的模型应整合与数轴转换相关的因素。例如，我们的任务中，儿童的响应被吸附到最近的刻度，这可能导致他们回答的位置与他们原本意图的位置相近。尽管错误答案靠近正确答案的比例极低，表明这种效应很小，但考虑这些任务相关的错误可能对建模其他未来数据很重要。儿童还有有限的时间（10秒）来回答，这可能促使他们使用较浅的策略（例如小数转换）而非正确的策略。我们的任务还包含刻度，这些刻度在估计分数时已知会影响儿童的表现（Siegler & Thompson, 2014）。因此，学生在没有刻度或整数参考的估计任务中可能表现不同，检查我们的数轴任务行为是否能预测这种典型任务的表现将是有益的。复制在各种任务中的表现不佳将有助于我们判断学生是否完全缺乏对分数的正确理解，或者是否因任务特征而无法使用这一理解。

此外，由于每个参与者只有5个分数任务，我们无法评估同一学生在不同任务中策略的一致性。任务设计有时会妨碍一致性，例如，一个使用小数模式回答3.6的儿童在面对6/3时无法回答6.3，因为数轴在5处结束。确定学生是否一致是至关重要的，因为这可能将当前测试转变为一个特定诊断和补救的工具。我们实验室正在进行进一步的研究，以评估在增加项目的情况下，数轴测试是否能够精确确定分数的误解，并为学习者提供针对他们未理解内容的解释。

我们的研究还存在另一个局限性，即我们是跨年级进行比较的，而不是纵向研究。因此，我们无法测量任务行为在年份中的演变。然而，年级、学术路径和个体准确性的效果一致性表明，我们的观察提供了对分数理解时间演变的第一瞥。同样，在正在进行的工作中，我们正在采用纵向视角。

最后，我们研究的局限性在于，我们仅覆盖了6年级到10年级的学生，而分数实际上在4年级被正式学习，并且在成年后仍被使用。鉴于我们在所有年级中观察到的表现不佳，一个重要的问题是成年人最终是否能够掌握分数大小的正确理解。

总之，我们的研究揭示了法国6年级、8年级和10年级学生在将简单分数放置在刻度数轴上的能力极差。他们的表现不佳表明了一组在个体和年级之间共享的错误模式。我们提出，这些模式源于两种主要策略中的潜在程序性错误，这与儿童算术操作中程序性错误的文献相呼应。我们扩展了这一想法，超越了算术的范围，并探讨了程序性错误如何与概念性知识整合。我们的模型还可能对教学产生重大影响。识别学生犯的错误是纠正它们的第一步，我们认为我们的测试可以被转化为一个强大的诊断工具，以捕捉学生对分数的理解。